Ứng dụng tích phân trong hình học (diện tích hình phẳng)

Lý thuyết về ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng môn toán lớp 12 với nhiều dạng bài cùng phương pháp giải nhanh kèm bài tập vận dụng
(408) 1361 26/07/2022
Bài viết đã được lưu
Chia sẻ

Nội dung bài viết

    Xem thêm

    1. Kiến thức cần nhớ

    - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\):

    \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)

    - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\):

    \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

    2. Một số dạng toán thường gặp

    Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng nếu biết hai đường giới hạn

    Phương pháp:

    - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\) được tính bởi công thức:

    \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)

    - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\)được tính bởi công thức:

    \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

    Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng nếu chưa biết hai đường giới hạn

    Phương pháp:

    - Bước 1: Giải phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) tìm nghiệm.

    - Bước 2: Phá dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức \(\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|\)

    - Bước 3: Tính diện tích hình phẳng theo công thức tích phân:

    \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

    Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ và các trục tọa độ. Chọn kết quả đúng nhất.

    A. $3\ln 6$

    B. \(3\ln \dfrac{3}{2}\)

    C. \(3\ln \dfrac{3}{2} - 2\)

    D.\(3\ln \dfrac{3}{2} - 1\)

    Giải:

    Đồ thị hàm số cắt $Ox$ tại $\left( {-1;0} \right)$, cắt $Oy$ tại $\left( {0; - \dfrac{1}{2}} \right)$.

    Hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ có \(y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\) nên hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ nghịch biến trên $\left( {-1;0} \right)$.

    Do đó \(y < 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\)

    Do đó $S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {\dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right|} dx = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( { - \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right)} dx =  - \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {1 + \dfrac{3}{{x - 2}}} \right)} dx $

    $=  - \left( {x + 3\ln \left| {x - 2} \right|\mathop |\nolimits_{ - 1}^0 } \right) =  - 3\ln 2 - 1 + 3\ln 3 = 3\ln \dfrac{3}{2} - 1$

    Chọn D.

    Xem toàn bộ nội dung Toán 12:

    (408) 1361 26/07/2022
    Bài viết đã được lưu
    Bài trước
    Chia sẻ
    Bài sau  
    Tìm thêm: Lý thuyết Lý Thuyết Lớp 12 Toán 12