Hàm số mũ

- Hàm số mũ là hàm số dạng $y = {a^x}\left( {0 < a \ne 1} \right)$.

- Giới hạn liên quan $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{e^x} - 1}}{x} = 1$.

- Đạo hàm: $y = {a^x} \Rightarrow y' = {a^x}\ln a;y = {a^{u\left( x \right)}} \Rightarrow y' = u'\left( x \right).{a^{u\left( x \right)}}\ln a,x \in R$

(Đặc biệt $\left( {{e^x}} \right)' = {e^x};{e^{u\left( x \right)}} = u'\left( x \right){e^{u\left( x \right)}}$ )

Khảo sát $y = {a^x}$:

- TXĐ: $D = R$

- Chiều biến thiên:

+ Nếu $a > 1$ thì hàm đồng biến trên $R$.

+ Nếu $0 < a < 1$ thì hàm nghịch biến trên $R$.

- Đồ thị:

+ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = 0$.

+ Đồ thị hàm số luôn đi qua các điểm $\left( {0;1} \right)$ và $\left( {1;a} \right)$.

+ Đồ thị nằm hoàn toàn phía trên trục hoành vì ${a^x} > 0,\forall x \in R$.

+ Dáng đồ thị:

Dạng 1: Tìm hàm số có đồ thị cho trước và ngược lại.

Phương pháp:

- Bước 1: Quan sát dáng đồ thị, tính đơn điệu,…của các đồ thị bài cho.

- Bước 2: Đối chiếu với hàm số bài cho và chọn kết luận.

Dạng 2: Tìm mối quan hệ giữa các cơ số khi biết đồ thị.

Phương pháp:

- Bước 1: Quan sát các đồ thị, nhận xét về tính đơn điệu để nhận xét các cơ số.

+ Hàm số đồng biến thì cơ số lớn hơn $1$.

+ Hàm số nghịch biến thì cơ số lớn hơn $0$ và nhỏ hơn $1$.

- Bước 2: So sánh các cơ số dựa vào phần đồ thị của hàm số.

- Bước 3: Kết hợp các điều kiện ở trên ta được mối quan hệ cần tìm.

Dạng 3: Tính đạo hàm các hàm số.

Phương pháp:

- Bước 1: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm hàm số đã cho.

$\left( {u \pm v} \right)' = u' \pm v';\left( {uv} \right)' = u'v + uv';\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

- Bước 2: Tính đạo hàm các hàm số thành phần dựa vào công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản: hàm đa thức, phân thức, hàm mũ, logarit, lũy thừa,…

- Bước 3: Tính toán và kết luận.

Dạng 4: Tính giới hạn các hàm số.

Phương pháp:

Áp dụng các công thức tính giới hạn đặc biệt để tính toán:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{e^x} - 1}}{x} = 1$;      $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{a^x} - 1}}{x} = \ln a$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {\left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)^x} = e$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {x + 1} \right)^{\dfrac{1}{x}}} = e$.

Dạng 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số mũ trên một đoạn.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y'$, tìm các nghiệm ${x_1},{x_2},...,{x_n} \in \left[ {a;b} \right]$ của phương trình $y' = 0$.

- Bước 2: Tính $f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x_1}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right)$.

- Bước 3: So sánh các giá trị vừa tính ở trên và kết luận GTLN, GTNN của hàm số.

+ GTNN $m$ là số nhỏ nhất trong các giá trị tính được.

+ GTLN $M$ là số lớn nhất trong các giá trị tính được.