Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1. Các kiến thức cần nhớ

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y'$, giải phương trình $y' = 0$ tìm các nghiệm ${x_1},{x_2},...{x_n}$ thỏa mãn $a \le {x_1} < {x_2} < ... < {x_n} \le b$

- Bước 2: Tính các giá trị $f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)$

- Bước 3: So sánh các giá trị tính được ở trên và kết luận:

+ Giá trị lớn nhất tìm được trong số các giá trị ở trên là GTLN $M$ của hàm số trên $\left[ {a;b} \right]$

+ Giá trị nhỏ nhất tìm được trong số các giá trị ở trên là GTNN $m$ của hàm số trên $\left[ {a;b} \right]$

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác đinh và liên tục trên $\left( {a;b} \right)$

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $f'\left( x \right)$, giải phương trình $y' = 0$ tìm các nghiệm ${x_1},{x_2},...{x_n}$ thỏa mãn $a \le {x_1} < {x_2} < ... < {x_n} \le b$

- Bước 2: Tính các giá trị $f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right)$ và $A = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right);B = \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right)$

- Bước 3: So sánh các giá trị tính được và kết luận.

+ Nếu GTLN (hoặc GTNN) trong số các giá trị ở trên là $A$ hoặc $B$ thì kết luận hàm số không có GTLN (hoặc GTNN) trên khoảng $\left( {a;b} \right)$

+ Nếu GTLN (hoặc GTNN) trong số các giá trị ở trên là $f\left( {{x_i}} \right),i \in \left\{ {1;2;...;n} \right\}$ thì kết luận hàm số đạt GTLN (hoặc GTNN) bằng $f\left( {{x_i}} \right)$ khi $x = {x_i}$

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có GTLN, GTNN thỏa mãn điều kiện cho trước

Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$

Phương pháp: (chỉ áp dụng cho một số bài toán dễ dàng tìm được nghiệm của $y'$)

- Bước 1: Tính $y'$, giải phương trình $y' = 0$ tìm các nghiệm ${x_1},{x_2},...{x_n}$

- Bước 2: Tính các giá trị $f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)$

- Bước 3: Biện luận theo tham số để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$

- Bước 4: Thay vào điều kiện bài cho để tìm $m$