Tích phân (phương pháp đổi biến)

Lý thuyết về sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân môn toán lớp 12 với nhiều dạng bài cùng phương pháp giải nhanh kèm bài tập vận dụng
(435) 1450 26/07/2022
Bài viết đã được lưu

Nội dung bài viết

    Xem thêm

    1. Kiến thức cần nhớ

    - Vi phân:

    t=u(x)⇒dt=u′(x)dxu(t)=v(x)⇒u′(t)dt=v′(x)dx

    - Công thức đổi biến: b∫af[u(x)]u′(x)dx=t(b)∫t(a)f(t)dt

    2. Một số dạng toán thường gặp

    Dạng 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến t=u(x).

    - Bước 1: Đặt t=u(x), đổi cận {x=a⇒t=u(a)=a′x=b⇒t=u(b)=b′ .

    - Bước 2: Tính vi phân dt=u′(x)dx.

    - Bước 3: Biến đổi f(x)dx thành g(t)dt.

    - Bước 4: Tính tích phân b∫af(x)dx=b′∫a′g(t)dt.

    Ví dụ: Tính tích phân √3∫02x√x2+1dx.

    Giải:

    Đặt t=√x2+1⇒t2=x2+1 ⇒2tdt=2xdx.

    Đổi cận {x=0⇒t=1x=√3⇒t=2

    Do đó: √3∫02x√x2+1dx=2∫1t.2tdt=23t3|21=23(23−13)=143.

    Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến x=u(t).

    - Bước 1: Đặt x=u(t), đổi cận {x=a⇒t=a′x=b⇒t=b′.

    - Bước 2: Lấy vi phân 2 vế dx=u′(t)dt.

    - Bước 3: Biến đổi f(x)dx=f(u(t)).u′(t)dt=g(t)dt.

    - Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức b∫af(x)dx=b′∫a′g(t)dt

    Ví dụ: Cho I=π2∫0√1−x2dx, nếu đặt x=sint thì:

    A. I=21∫0(1+cos2t)dt

    B. I=1∫01−cos2t2dt

    C. I=1∫01+cos2t2dt

    D. I=1∫0cos2t−12dt

    Giải:

    Đặt x=sint⇔dx=costdt và 1−x2=1−sin2t=cos2t

    Đổi cận {x=0⇒t=0x=π2⇒t=1

    Suy ra

    I=π2∫0√1−x2dx=1∫0√cos2tcostdt =1∫0cos2tdt=1∫01+cos2t2dt

    Chọn C.

    Chú ý:

    Các dấu hiệu thường dùng phương pháp trên là:

    Xem toàn bộ nội dung Toán 12:

    (435) 1450 26/07/2022
    Bài viết đã được lưu
    Bài trước
    Bài sau  
    Tìm thêm: Lý thuyết Lý Thuyết Lớp 12 Toán 12