Cực trị của hàm số

1. Các kiến thức cần nhớ

a) Cần phân biệt các các khái niệm:

- Điểm cực trị ${x_0}$ của hàm số.

- Giá trị cực trị của hàm số.

- Điểm cực trị $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ của đồ thị hàm số.

b) Nếu $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\left( {a;b} \right)$ và đạt cực trị tại ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$ thì $f'\left( {{x_0}} \right) = 0$.

Giả sử hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên khoảng $K = \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right)$ và có đạo hàm trên $K$ hoặc $K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\left( {h > 0} \right)$.

a) Nếu $\left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {{x_0} - h} \right)\\f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {{x_0} + h} \right)\end{array} \right.$  thì ${x_0}$ là một điểm cực đại của hàm số.

b) Nếu $\left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {{x_0} - h} \right)\\f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {{x_0} + h} \right)\end{array} \right.$  thì ${x_0}$ là một điểm cực tiểu của hàm số.

Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm không xác định.

Giả sử $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp 2 trong $\left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right)\left( {h > 0} \right)$.

a) Nếu $\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) > 0\end{array} \right.$ thì ${x_0}$ là một điểm cực tiểu của hàm số.

b) Nếu $\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right.$ thì ${x_0}$ là một điểm cực đại của hàm số.

2. Tìm cực trị của hàm số

Phương pháp:

Có thể tìm cực trị của hàm số bởi một trong hai quy tắc sau:

- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

- Bước 2: Tính $f'\left( x \right)$, tìm các điểm tại đó $f'\left( x \right) = 0$ hoặc không xác định.

- Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận.

+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.

+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì đó là điểm cực đại của hàm số.

- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

- Bước 2: Tính $f'\left( x \right)$, giải phương trình $f'\left( x \right) = 0$ và kí hiệu ${x_1},...,{x_n}$ là các nghiệm của nó.

- Bước 3: Tính $f''\left( x \right)$ và $f''\left( {{x_i}} \right)$.

- Bước 4: Dựa và dấu của $f''\left( {{x_i}} \right)$ suy ra điểm cực đại, cực tiểu:

+ Tại các điểm ${x_i}$ mà $f''\left( {{x_i}} \right) > 0$ thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.

+ Tại các điểm ${x_i}$ mà $f''\left( {{x_i}} \right) < 0$ thì đó là điểm cực đại của hàm số.

Đối với các bài toán tìm cực trị của hàm số lượng giác thì dùng quy tắc 2 sẽ thuận tiện hơn, tránh được việc xét dấu đạo hàm.