Phương trình bậc hai với hệ số thực (căn bậc hai của số phức)

Ví dụ: Tìm căn bậc hai của số phức $z = 8 + 6i$.

Giải:

Cách 1:

Ta có: $z = 8 + 6i = 9 + 6i - 1 = {3^2} + 2.3i + {i^2} = {\left( {3 + i} \right)^2}$

Do đó các căn bậc hai của số phức $z$ là $3 + i$ và $- 3 - i$.

Cách 2:

Giả sử $w = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$ là một căn bậc hai của số phức $z = 8 + 6i$

Khi đó ${w^2} = z \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 8\\2xy = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{3}{x}\\{x^2} - \dfrac{9}{{{x^2}}} = 8\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{3}{x}\\{x^4} - 8{x^2} - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{3}{x}\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} =  - 1(L)\\{x^2} = 9(TM)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3,y = 1\\x =  - 3,y =  - 1\end{array} \right.$

Vậy có hai căn bậc hai của số phức $z = 8 + 6i$ là $3 + i$ và $- 3 - i$.

Ví dụ: Tìm tập nghiệm của phương trình ${z^2} + z + 1 = 0$.

Giải:

Ta có: $\Delta  = {1^2} - 4.1.1 =  - 3$, các căn bậc hai của $- 3$ là $i\sqrt 3$ và $- i\sqrt 3$

Do đó phương trình có nghiệm ${z_1} = \dfrac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2}$ và ${z_2} = \dfrac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình $S = \left\{ {\dfrac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2};\dfrac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2}} \right\}$

Ví dụ: Giải phương trình ${z^4} + 1 = 0$.

Giải:

Ta có: ${z^4} + 1 = 0 \Leftrightarrow {z^4} - {i^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^2} - i} \right)\left( {{z^2} + i} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = i\left( 1 \right)\\{z^2} =  - i\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Giải (1): Ta tìm căn bậc hai của số phức $z' = i$.

Gọi $w = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$ là một căn bậc hai của số phức $z' = i$. Khi đó:

${w^2} = i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 0\\2xy = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = y\\2{x^2} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - y\\ - 2{y^2} = 1(L)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\x = y =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right. \\ \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i\\z =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i\end{array} \right.$

Giải (2): Ta tìm căn bậc hai của số phức $z' =  - i$

Vì $z' =  - i = {i^2}.i$ nên các căn bậc hai của $z'$ là $i.\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right) =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i$ và $i\left( { - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i$

Vậy phương trình có các nghiệm ${z_1} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i;{z_2} =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i;{z_3} =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i;{z_4} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i$.