Lũy thừa (số mũ hữu tỉ) - Định nghĩa và tính chất

a) Định nghĩa:

- Lũy thừa với số mũ nguyên dương $a \in R:{a^n} = a.a...a$ (n thừa số a).

- Lũy thừa với số mũ nguyên âm: $a \ne 0:{a^{ - n}} = \dfrac{1}{{{a^n}}};{a^0} = 1$

- Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: $a > 0:{a^{\dfrac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\left( {m,n \in Z,n \ge 2} \right)$

b) Tính chất:

Cho $a \ne 0,b \ne 0$ và $m,n$ là các số nguyên, ta có:

1/ ${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}$

2/ ${a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}$

3/ ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}}$

4/ ${\left( {ab} \right)^n} = {a^n}{b^n}$

5/ ${\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^n} = \dfrac{{{a^n}}}{{{b^n}}}$

6/ Với $a > 1$ thì ${a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n$

7/ Với $0 < a < 1$ thì ${a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n$

Hệ quả:

1/ Với $0 < a < b$ và $m$ nguyên dương thì ${a^m} < {b^m}$.

2/ Với $0 < a < b$ và $m$ nguyên âm thì ${a^m} > {b^m}$

3/ Với $a < b,n$ là số tự nhiên lẻ thì ${a^n} < {b^n}$

4/ Với $a > 0,b > 0,n$ là số nguyên khác $0$ thì ${a^n} = {b^n} \Leftrightarrow a = b$.

a) Định nghĩa: Cho số thực $b$ và số nguyên dương $n\left( {n \ge 2} \right)$. Số $a$ được gọi là căn bậc $n$ của số $b$ nếu ${a^n} = b$.

Từ định nghĩa suy ra:

- Với $n$ lẻ và $b \in R$ có duy nhất một căn bậc $n$ của $b$, kí hiệu là $\sqrt[n]{b}$.

- Với $n$ chẵn và:    

+ $b < 0$ thì không tồn tại căn bậc $n$ của $b$.

+ $b = 0$ thì có một căn bậc $n$ của $b$ là $0$.

+ $b > 0$ thì có hai căn trái dấu là $\pm \sqrt[n]{b}$

- Căn bậc $1$ của số $a$ chính là $a$.

- Căn bậc $n$ của số $0$ là $0$.

- Nếu $n$ lẻ thì $\sqrt[n]{{{a^n}}} = a$ ; nếu $n$ chẵn thì $\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left| a \right|$ khi $n$ chẵn.

b) Tính chất:

Với $a \ge 0,b \ge 0,m,n$ nguyên dương, ta có:

1/ $\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$

2/ $\sqrt[n]{{\dfrac{a}{b}}} = \dfrac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}}\left( {b > 0} \right)$

3/ $\sqrt[n]{{{a^p}}} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^p}\left( {a > 0} \right)$

4/ $\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}$

5/ $\sqrt[n]{a} = \sqrt[{mn}]{{{a^m}}} (a>0)$