Hệ tọa độ trong không gian (phương trình mặt cầu)

- Dạng 1: Phương trình chính tắc của mặt cầu tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ và bán kính $R$ là:

${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$     (1)

- Dạng 2: Phương trình tổng quát của mặt cầu ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$    (2)

Phương trình (2) có tâm $I\left( { - a; - b; - c} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$.

Do đó điều kiện cần và đủ để (2) là phương trình mặt cầu là ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$

Dạng 1: Nhận biết các yếu tố từ phương trình mặt cầu.

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa tâm và bán kính mặt cầu:

- Mặt cầu có phương trình dạng ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$ có tâm $\left( {a;b;c} \right)$ và bán kính $R$.

- Mặt cầu có phương trình dạng ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$ có tâm $I\left( { - a; - b; - c} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$.

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu.

Phương pháp chung:

Cách 1: Sử dụng phương trình mặt cầu dạng chính tắc.

- Tìm tâm và bán kính mặt cầu, từ đó viết phương trình theo dạng 1 nêu ở trên.

Cách 2: Sử dụng phương trình mặt cầu dạng tổng quát.

- Gọi mặt cầu có phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$

- Sử dụng điều kiện bài cho để tìm $a,b,c,d$.

Một số bài toán hay gặp:

- Viết phương trình mặt cầu với tâm và bán kính đã cho.

- Mặt cầu có đường kính $AB$: tâm là trung điểm của $AB$ và bán kính $R = \dfrac{{AB}}{2}$.

- Mặt cầu đi qua $4$ điểm $A,B,C,D$:

* Cách 1:

+) Gọi mặt cầu có phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$

+) Thay tọa độ các điểm bài cho vào phương trình và tìm $a,b,c,d$.

*Cách 2:

+) Gọi $I(a,b,c)$ là tâm của mặt cầu.

+) Lập hệ phương trình 

$\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\\IA = ID\end{array} \right.$

tìm $a, b, c$.

+) Bán kính $R=IA$.

* Cách 3:

+) Tìm mặt phẳng trung trực của các đoạn thẳng $AB, AC, AD$. Mặt phẳng trung trực của $AB$ đi qua trung điểm của $AB$ và nhận $\overrightarrow {AB}$ làm một vectơ pháp tuyến.

+) Tâm $I$ của mặt cầu là giao của 3 mặt phẳng đó.

+) Bán kính $R=IA$.

Dạng 3: Tìm tham số để mặt cầu thỏa mãn điều kiện cho trước.

- Mặt cầu đi qua một điểm nếu tọa độ điểm đó thỏa mãn phương trình mặt cầu.