Ôn tập chương 7

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

+) ${\overrightarrow i ^2} = {\overrightarrow j ^2} = {\overrightarrow k ^2} = 1$ và $\overrightarrow i .\overrightarrow j  = \overrightarrow i .\overrightarrow k \,\, = \,\,\overrightarrow k .\overrightarrow j  = 0$

+) $\vec 0 = (0;0;0),\,\,\vec i = (1;0;0),$ $\vec j = (0;1;0),\,\,\vec k = (0;0;1)$

2. Các công thức điểm, véc tơ

+) $\vec a \pm \vec b\, = \,\,({a_1} \pm {b_1};\,\,{a_2} \pm {b_2};\,\,{a_3} \pm {b_3})$

+) $k\vec a\,\, = \,\,(k{a_1};\,\,k{a_2};\,\,k{a_3})$

+) $\overrightarrow a  = \overrightarrow b \,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {b_1}\\{a_2} = {b_2}\\{a_3} = {b_3}\end{array} \right.$

+) $\overrightarrow a$ cùng phương $\overrightarrow b \,(\vec b \ne \vec 0)\,$ $\Leftrightarrow\overrightarrow a  = k\overrightarrow b \,(k \in \mathbb{R})$

$\Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}{a_1} = k{b_1}\\{a_2} = k{b_2}\\{a_3} = k{b_3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\dfrac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \dfrac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = \dfrac{{{a_3}}}{{{b_3}}},({b_1},\,\,{b_2},\,\,{b_3} \ne 0)$

+) $\vec a.\vec b = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2} + {a_3}.{b_3}$

+) $\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3} = 0$

+) ${\vec a^2} = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2$

+) $\left| {\vec a} \right| = \,\,\sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_2^2}$

+) $\cos (\vec a,\,\,\vec b)\,\, = \,\dfrac{{\vec a.\vec b}}{{\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|}}\,\, = \,\,\dfrac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}}}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} .\sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} }}$  (với $\vec a,\,\,\vec b \ne \vec 0$)

+) $M \in \left( {Oxy} \right) \Leftrightarrow z = 0;$ $M \in \left( {Oyz} \right) \Leftrightarrow x = 0;$ $M \in \left( {Oxz} \right) \Leftrightarrow y = 0$

+)$M \in Ox \Leftrightarrow y = z = 0;$ $M \in Oy \Leftrightarrow x = z = 0;$ $M \in Oz \Leftrightarrow x = y = 0$

+) $\overrightarrow {AB}  = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A})$

+) $AB\,\, = \,\,\sqrt {{{({x_B} - {x_A})}^2} + {{({y_B} - {y_A})}^2} + {{({z_B} - {z_A})}^2}}$

+) Toạ độ trung điểm $M$của đoạn thẳng $AB$: $M\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)$

+) Toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$:

$G\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)$

+) Toạ độ trọng tâm $G$ của tứ diện $ABCD$:

$G\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4};\dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4};\dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_C}}}{4}} \right)$

+) $\,\left[ {\vec a,\vec b} \right]\,\, = \,\,\left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_2}}&{{a_3}}\\{{b_2}}&{{b_3}}\end{array}} \right|\,\,;\,\,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_3}}&{{a_1}}\\{{b_3}}&{{b_1}}\end{array}} \right|\,\,;\,\,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{a_2}}\\{{b_1}}&{{b_2}}\end{array}} \right|} \right) = \left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)$

+) $[\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ]\,\, \bot \,\,\overrightarrow a ;[\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ]\,\, \bot \,\,\overrightarrow b$

+) $\left[ {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \,} \right] =  - \left[ {\overrightarrow b ,\overrightarrow a } \right]$                                 

+) $\left[ {\vec i,\vec j} \right] = \vec k;\left[ {\vec j,\vec k} \right] = \vec i;\left[ {\vec k,\vec i} \right] = \vec j$  

+) $\left| {[\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b ]} \right|\,\, = \,\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\sin \left( {\vec a,\vec b} \right)$ (Chương trình nâng cao)

+) $\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b$ cùng phương $\Leftrightarrow [\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ]\,\, = \,\,\overrightarrow 0$ (chứng minh $3$ điểm thẳng hàng)

+) $\vec a,\vec b,\vec c$ đồng phẳng $\Leftrightarrow \left[ {\vec a,\vec b} \right].\vec c = 0$

+) Diện tích hình bình hành $ABCD$:

+) Diện tích tam giác $ABC$: ${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|$

+) Thể tích khối hộp $ABCDA'B'C'D'$: ${V_{ABCD.A'B'C'D'}}\,\, = \,\,\left| {[\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AD} ].\overrightarrow {AA'} } \right|$

+) Thể tích tứ diện $ABCD$:${V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {[\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} ]\,.\overrightarrow {AD} } \right|$

3. Phương trình mặt phẳng

+) Trong không gian $Oxyz$, mọi mặt phẳng đều có dạng phương trình:

$Ax + By + Cz + D = 0\,\,$với${A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0$

+) Nếu mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình $Ax + By + Cz + D = 0\,\,$thì nó có một VTPT là $\overrightarrow n (A;\,B;\,C)$.

+) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm ${M_0}({x_0};{y_0};{z_0})$ và nhận vectơ $\overrightarrow n (A;\,B;\,C)$ khác $\overrightarrow 0$ là VTPT là: $A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0$.

+) Nếu $\overrightarrow n$ là một VTPT của mặt phẳng $(\alpha )$ thì $k\overrightarrow n \,$$\,(k \ne 0)$ cũng là một VTPT của mặt phẳng$(\alpha )$

+) Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một VTPT của nó.

+) Nếu $\overrightarrow u ,\,\overrightarrow v$ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng $(\alpha )$ thì $\overrightarrow n  = {\rm{[}}\overrightarrow u ,\,\overrightarrow v {\rm{]}}$ là một VTPT của $(\alpha )$.

+) Khoảng cách từ điểm ${M_0}$ đến mặt phẳng $(\alpha )$ được tính: $d({M_0},(\alpha )) = \dfrac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$

+) Góc giữa $\left( \alpha  \right)$ và $\left( \beta  \right)$ bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT $\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }}$. Tức là:

$\cos \left( {\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} .\overrightarrow {{n_\beta }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_\beta }} } \right|}} = \dfrac{{\left| {{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2}} \right|}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} .\sqrt {A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} }}$

+) $(\alpha ){\rm{//}}(\beta )$

$\dfrac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \dfrac{{{B_1}}}{{{B_2}}} = \dfrac{{{C_1}}}{{{C_2}}} \ne \dfrac{{{D_1}}}{{{D_2}}}$

+) $(\alpha ) \equiv (\beta )$ $\Leftrightarrow\dfrac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \dfrac{{{B_1}}}{{{B_2}}} = \dfrac{{{C_1}}}{{{C_2}}} = \dfrac{{{D_1}}}{{{D_2}}}$

+) $(\alpha )$ cắt $(\beta )$ $\Leftrightarrow\dfrac{{{A_1}}}{{{A_2}}} \ne \dfrac{{{B_1}}}{{{B_2}}}$ hoặc $\dfrac{{{B_1}}}{{{B_2}}} \ne \dfrac{{{C_1}}}{{{C_2}}}$ hoặc $\dfrac{{{A_1}}}{{{A_2}}} \ne \dfrac{{{C_1}}}{{{C_2}}}$

4. Phương trình đường thẳng

+) Phương trình tham số: $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + {a_1}t\\y = {y_0} + {a_2}t\\z = {z_0} + {a_2}t\end{array} \right.;{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$ với ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ là điểm đi qua và $\overrightarrow u  = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)$ là VTCP $\left( {{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2 \ne 0} \right)$

+) Phương trình chính tắc: $\dfrac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}} = \dfrac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}} = \dfrac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}$ với ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ là điểm đi qua và $\overrightarrow u  = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)$ là VTCP $\left( {{a_1}{a_2}{a_3} \ne 0} \right)$

+) Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$. Ta có: $\cos \varphi  = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}$

+) Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha )$. Ta có: $\sin \varphi  = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|}}$

+) Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm  ${M_0}$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_\Delta }}$

$d\left( {M,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{M_0}M} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}}$

+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

${\Delta _1}$ đi qua điểm $M$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}$

${\Delta _2}$ đi qua điểm $N$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}}$

$d\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right){\rm{ = }}\dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {MN} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}$

+) Vị trí tương đối của hai đường thẳng

$d$ song song $d'$ $\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  = k\overrightarrow {u'} \\M \in d,M \notin d'\end{array} \right.$

$d$ trùng $d'$ $\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  = k\overrightarrow {u'} \\M \in d,M \in d'\end{array} \right.$

$d$ cắt $d'$ $\Leftrightarrow\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MN}  = 0$ và $\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'}$ không cùng phương

$d$ chéo $d'$ $\Leftrightarrow\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MN}  \ne 0$

5. Phương trình mặt cầu

+) Phương trình chính tắc

Mặt cầu $\left( S \right):$${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$ có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$, bán kính $R > 0$

+) Phương trình tổng quát

Mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$ với ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$