Hàm số logarit

- Hàm số logarit cơ số $a$ là hàm số có dạng $y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)$.

- Hàm số logarit có đạo hàm tại $\forall x > 0$ và $y' = \left( {{{\log }_a}x} \right)' = \dfrac{1}{{x\ln a}}$

(đặc biệt $\left( {\ln x} \right)' = \dfrac{1}{x}$ )

- Giới hạn liên quan $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1$.

- Đạo hàm: $y = {\log _a}x \Rightarrow y' = \left( {{{\log }_a}x} \right)' = \dfrac{1}{{x\ln a}};y = {\log _a}u\left( x \right) \Rightarrow y' = \dfrac{{u'\left( x \right)}}{{u\left( x \right)\ln a}}$

(đặc biệt $\left( {\ln x} \right)' = \dfrac{1}{x}$ )

Khảo sát $y = {\log _a}x$:

- TXĐ: $D = \left( {0; + \infty } \right)$

- Chiều biến thiên:

+ Nếu $a > 1$ thì hàm đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

+ Nếu $0 < a < 1$ thì hàm nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

- Đồ thị:

+ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 0$.

+ Đồ thị hàm số luôn đi qua các điểm $\left( {1;0} \right)$ và $\left( {a;1} \right)$.

+ Đồ thị nằm hoàn toàn phía bên phải trục tung vì $x > 0$.

+ Dáng đồ thị:

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm điều kiện để các logarit xác định.

Hàm số ${\log _a}\left( {u\left( x \right)} \right)$ xác định $\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\u\left( x \right) > 0\end{array} \right.$

- Bước 2: Tìm điều kiện để các biểu thức dưới dấu căn bậc hai, biểu thức dưới mẫu trong các phân thức,…(nếu có).

+ Căn bậc hai $\sqrt {u\left( x \right)}$ xác định nếu $u\left( x \right) \ge 0$.

+ Phân thức $\dfrac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}$ xác định nếu $g\left( x \right) \ne 0$.

- Bước 3: Giải các bất phương trình ở trên và kết hợp nghiệm ta được tập xác định của hàm số.

Dạng 2: Tìm hàm số có đồ thị cho trước và ngược lại.

Phương pháp:

- Bước 1: Quan sát dáng đồ thị, tính đơn điệu,…của các đồ thị bài cho.

- Bước 2: Đối chiếu với hàm số bài cho và chọn kết luận.

Dạng 3: Tìm mối quan hệ giữa các cơ số khi biết đồ thị.

Phương pháp:

- Bước 1: Quan sát các đồ thị, nhận xét về tính đơn điệu để nhận xét các cơ số.

+ Hàm số đồng biến thì cơ số lớn hơn $1$.

+ Hàm số nghịch biến thì cơ số lớn hơn $0$ và nhỏ hơn $1$.

- Bước 2: So sánh các cơ số dựa vào phần đồ thị của hàm số.

- Bước 3: Kết hợp các điều kiện ở trên ta được mối quan hệ cần tìm.

Dạng 4: Tính đạo hàm các hàm số.

Phương pháp:

- Bước 1: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm hàm số đã cho.

$\left( {u \pm v} \right)' = u' \pm v';\left( {uv} \right)' = u'v + uv';\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

- Bước 2: Tính đạo hàm các hàm số thành phần dựa vào công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản: hàm đa thức, phân thức, hàm mũ, logarit, lũy thừa,…

- Bước 3: Tính toán và kết luận.

Dạng 5: Tính giới hạn các hàm số.

Phương pháp:

Áp dụng các công thức tính giới hạn đặc biệt để tính toán:

 $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1$ ; $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{{\log }_a}\left( {1 + x} \right)}}{x} = \dfrac{1}{{\ln a}}$

Dạng 6: Tìm GTLN, GTNN của hàm số mũ và hàm số logarit trên một đoạn.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y'$, tìm các nghiệm ${x_1},{x_2},...,{x_n} \in \left[ {a;b} \right]$ của phương trình $y' = 0$.

- Bước 2: Tính $f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x_1}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right)$.

- Bước 3: So sánh các giá trị vừa tính ở trên và kết luận GTLN, GTNN của hàm số.

+ GTNN $m$ là số nhỏ nhất trong các giá trị tính được.

+ GTLN $M$ là số lớn nhất trong các giá trị tính được.