Ôn tập chương 4

1. Khái niệm số phức

+) Tập hợp số phức: $\mathbb{C}$

+) Số phức (dạng đại số) : $z = a + bi$ ($a,b \in \mathbb{R},a$ là phần thực, $b$ là phần ảo, $i$ là đơn vị ảo, ${i^2} = -1$)

+) $z$ là số thực $ \Leftrightarrow $ phần ảo của $z$ bằng $0\left( {b = 0} \right)$

+) $z$ là thuần ảo \( \Leftrightarrow \) phần thực của $z$ bằng $0\left( {a = 0} \right)$

Số $0$ vừa là số thực vừa là số ảo.

+) Hai số phức bằng nhau: $a + bi = a' + b'i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right., (a,b,a',b' \in R)$

Chú ý: \({i^{4k}} = 1;\,\,\,{i^{4k + 1}} = i;\,\,\,\,{i^{4k + 2}} =  - 1;\,\,\,\,{i^{4k + 3}} =  - i\)

2. Biểu diễn hình học

Số phức $z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$ được biểu diễn bởi điểm $M\left( {a;b} \right)$ hay bởi $\overrightarrow u  = (a;\;b)$ trong $mp\left( {Oxy} \right)$ (mp phức)

3. Cộng và trừ số phức

+) $\left( {a + bi} \right) + \left( {a' + b'i} \right) = \left( {a + a'} \right) + \left( {b + b'} \right)i$

+) $\left( {a + bi} \right) - \left( {a' + b'i} \right) = \left( {a - a'} \right) + \left( {b - b'} \right)i$

+) Số đối của $z = a + bi$ là $ - z =  - a - bi$

+) $\vec u$ biểu diễn $z,\overrightarrow {u'} $ biểu diễn $z'$ thì $\overrightarrow u  + \overrightarrow {u'} $ biểu diễn $z + z'$ và $\overrightarrow u  - \overrightarrow {u'} $ biểu diễn $z - z'$

4. Nhân hai số phức

+) $\left( {a + bi} \right)\left( {a' + b'i} \right) = \;\left( {aa'-bb'} \right) + \left( {ab' + ba'} \right)i$

+) \(k(a + bi) = ka + kbi\,\,(k \in R)\)

5. Số phức liên hợp

Số phức liên hợp của số phức $z = a + bi$ là $\bar z = a - bi$

+) $\overline {\overline z }  = z\;;\overline {z \pm z'}  = \overline z  \pm \overline {z'} \;;$ $\overline {z.z'}  = \overline z .\overline {z'} ;\overline {\left( {\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right)}  = \dfrac{{{{\bar z}_1}}}{{{{\bar z}_2}}};z.\bar z = {a^2} + {b^2}$

+) $z$ là số thực $ \Leftrightarrow z = \overline z $; $z$ là số ảo $ \Leftrightarrow z =  - \overline z $

6. Môđun của số phức

Cho $z = a + bi$

+) $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {z\bar z}  = \left| {\overrightarrow {OM} } \right|$

+) $\left| z \right| \ge 0,\;\forall z \in C, \left| z \right| = 0 \Leftrightarrow z = 0$

+) $\left| {z.z'} \right| = \left| z \right|.\left| {z'} \right|$

+) \(\left| {\dfrac{z}{{z'}}} \right| = \dfrac{{\left| z \right|}}{{\left| {z'} \right|}}\)

+) $\left| {\left| z \right| - \left| {z'} \right|} \right| \le \left| {z \pm z'} \right| \le \left| z \right| + \left| {z'} \right|$

7. Chia hai số phức

+) Chia hai số phức: $\dfrac{{{{a + bi}}}}{{{{a' + b'i}}}} = \dfrac{{{{aa' - bb'}}}}{{a{'^2} + b{'^2}}} + \dfrac{{ab' + a'b}}{{a{'^2} + b{'^2}}}i$

+) ${z^{ - 1}} = \dfrac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}}\bar z,(z \ne 0)$

+) $\dfrac{{z'}}{z} = z'{z^{ - 1}} = \dfrac{{z'.\bar z}}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \dfrac{{z'.\bar z}}{{z.\bar z}}$

+) $\dfrac{{z'}}{z} = w \Leftrightarrow z' = wz$

8. Căn bậc hai của số phức

+) $z = x + yi$  là căn bậc hai của số phức  \(w = a + bi\) $ \Leftrightarrow {z^2} = w$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}{x^2} - {y^2} = a\\2xy = b\end{array} \right.$

+) $w = 0$ có đúng $1$ căn bậc hai là $z{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

+) $w \ne 0$ có đúng hai căn bậc hai đối nhau

+) Hai căn bậc hai của số thực $a > 0$ là $ \pm \sqrt a $

+) Hai căn bậc hai của số thực $a < 0$ là  $ \pm \sqrt { - a} .i$

9. Phương trình bậc hai với hệ số phức

Cho phương trình $A{z^2} + Bz + C = 0{\rm{ }}\left( * \right)$($A,B,C$ là các số phức cho trước, $A \ne 0$)

$\Delta  = {B^2} - 4AC$

+) $\Delta  \ne 0$: $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${z_{1,2}} = \dfrac{{ - B \pm \delta }}{{2A}}$, ($\delta $ là $1$ căn bậc hai của $\Delta $)

+) $\Delta  = 0$: $\left( * \right)$ có $1$ nghiệm kép: ${z_1} = {z_2} =  - \dfrac{B}{{2A}}$

Chú ý: Nếu ${z_0} \in \mathbb{C}$ là một nghiệm của $\left( * \right)$ thì \(\overline {{z_0}} \) cũng là một nghiệm của $\left( * \right)$

10. Dạng lượng giác của số phức (dành cho chương trình nâng cao)

a) Acgumen của số phức ${\bf{z}} \ne {\bf{0}}$

Cho số phức $z \ne 0.$  Gọi $M$ là điểm biểu diễn số $z.$ Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu $Ox,$  tia cuối $OM$ được gọi là một acgumen của $z.$  Nếu $\varphi $ là một acgumen của $z$ thì mọi acgumen của $z$ có dạng $\varphi  + {\rm{ }}k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

b) Dạng lượng giác của số phức

Dạng $z = r\left( {\cos \varphi  + {\rm{ }}i\sin \varphi } \right)\;\left( {r > 0} \right)$ là dạng lượng giác của $z = a + bi\left( {a,b \in R} \right)\left( {z \ne 0} \right)$

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\c{\rm{os}}\varphi  = \dfrac{a}{r}\\\sin \varphi  = \dfrac{b}{r}\end{array} \right.\) ($\varphi $ là acgumen của $z,\varphi  = \left( {Ox,OM} \right)$)

c) Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác

Nếu $z = r\left( {\cos \varphi  + {\rm{ }}i\sin \varphi } \right),$$\;z' = {\rm{ }}r'\left( {\cos \varphi '{\rm{ }} + {\rm{ }}i\sin \varphi '} \right)$ thì:

$z.z' = {\rm{ }}rr'\left[ {\cos (\varphi  + \varphi '){\rm{ }} + {\rm{ }}i\sin (\varphi  + \varphi ')} \right]$

\(\dfrac{{z}}{{{z'}}} = \dfrac{r}{{r'}}\left[ {c{\rm{os}}(\varphi  - \varphi ') + {\rm{i}}\sin (\varphi  - \varphi ')} \right]\).

d) Công thức Moa-vrơ

Với $n$ là số nguyên, $n \ge 1$ thì: \({\left[ {r(c{\rm{os}}\varphi  + {\rm{i}}\sin \varphi )} \right]^n} = {r^n}(\cos n\varphi  + {\rm{i}}\sin n\varphi )\)

Khi $r = 1,$ ta được : \({(c{\rm{os}}\varphi  + {\rm{i}}\sin \varphi )^n} = (\cos n\varphi  + {\rm{i}}\sin n\varphi )\)

e) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác

Các căn bậc hai của số phức  $z{\rm{ }} = {\rm{ }}r(\cos \varphi  + {\rm{ }}i\sin \varphi )\;\;\left( {r > 0} \right)$ là : \(\sqrt r \left( {c{\rm{os}}\dfrac{\varphi }{2} + {\rm{i}}\sin \dfrac{\varphi }{2}} \right)\) và \( - \sqrt r \left( {c{\rm{os}}\dfrac{\varphi }{2} + {\rm{i}}\sin \dfrac{\varphi }{2}} \right) = \sqrt r \left[ {c{\rm{os}}\left( {\dfrac{\varphi }{2} + \pi } \right) + {\rm{i}}\sin \left( {\dfrac{\varphi }{2} + \pi } \right)} \right]\)