Hệ tọa độ trong không gian (tích có hướng và ứng dụng)

1. Tích có hướng của hai véc tơ

- Định nghĩa: Cho các véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\). Tích có hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) là véc tơ \(\overrightarrow u \), kí hiệu  \(\overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\) hoặc $\overrightarrow u = \overrightarrow {{u_1}} \wedge \overrightarrow {{u_2}} $ và được xác định bằng tọa độ như sau:

Véc tơ \(\overrightarrow u \) vuông góc với cả hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \)

- Tính chất:

+) \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] =  - \left[ {\overrightarrow {{u_2}} ;\overrightarrow {{u_1}} } \right]\)

+) \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương \(\overrightarrow {{u_2}} \)

+) \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] \bot \overrightarrow {{u_1}} ;\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] \bot \overrightarrow {{u_2}} \)

+) \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{u_3}}  = 0 \Leftrightarrow \) ba véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{u_3}} \)  đồng phẳng.

+) \(\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|\sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)\)

2. Ứng dụng tích có hướng

- Diện tích tam giác:

- Diện tích hình bình hành:

- Thể tích tứ diện:

- Thể tích khối hộp:

Chú ý: Khi thực hành tính toán, các em có thể tính tích có hướng ở ngoài nháp như sau:

+B1: Viết tọa độ mỗi véc tơ hai lần liền nhau, các tọa độ tương ứng của hai véc tơ thẳng cột.

\(\begin{array}{*{20}{r}}{{x_1}}&{{y_1}}&{{z_1}}&{{x_1}}&{{y_1}}&{{z_1}}\\{{x_2}}&{{y_2}}&{{z_2}}&{{x_2}}&{{y_2}}&{{z_2}}\end{array}\)

+ B2: Xóa bỏ hai cột ngoài cùng.

+ B3: Tính toán theo quy luật: Nhân chéo rồi trừ.

Ví dụ: Cho hai véc tơ \(\overrightarrow u  = \left( {1;5;3} \right)\) và \(\overrightarrow v  = \left( {2; - 1;0} \right)\). Tính tích có hướng của hai véc tơ trên.

Giải:

Ta sẽ sử dụng phương pháp thực hành ở trên như sau: (chỉ viết ngoài nháp)

Vậy \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {3;6; - 11} \right)\).