Nguyên hàm (phương pháp đổi biến)

Lý thuyết về sử dụng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm môn toán lớp 12 với nhiều dạng bài cùng phương pháp giải nhanh kèm bài tập vận dụng
(437) 1457 26/07/2022
Bài viết đã được lưu

Nội dung bài viết

    Xem thêm

    1. Kiến thức cần nhớ

    - Vi phân:

    t=u(x)⇒dt=u′(x)dxu(t)=v(x)⇒u′(t)dt=v′(x)dx

    - Công thức đổi biến:

    ∫f[u(x)]u′(x)dx=∫f(t)dt =F(t)+C=F(t(x))+C

    2. Một số dạng toán thường gặp

    Dạng 1: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến t=u(x).

    - Bước 1: Đặt t=u(x), trong đó u(x) là hàm được chọn thích hợp.

    - Bước 2: Tính vi phân dt=u′(x)dx.

    - Bước 3: Biến đổi f(x)dx thành g(t)dt.

    - Bước 4: Tính nguyên hàm: ∫f(x)dx=∫g(t)dt =G(t)+C=G(u(x))+C.

    Ví dụ: Tính nguyên hàm ∫2x√x2+1dx.

    Giải:

    Đặt t=√x2+1⇒t2=x2+1 ⇒2tdt=2xdx.

    Do đó: ∫2x√x2+1dx=∫√x2+1.2xdx =∫t.2tdt=∫2t2dt=23t3+C =23√(x2+1)3+C.

    Dạng 2: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến x=u(t).

    - Bước 1: Đặt x=u(t), trong đó u(t) là hàm số ta chọn thích hợp.

    - Bước 2: Lấy vi phân 2 vế dx=u′(t)dt.

    - Bước 3: Biến đổi f(x)dx=f(u(t)).u′(t)dt=g(t)dt.

    - Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức ∫f(x)dx=∫g(t)dt=G(t)+C

    Ví dụ: Cho nguyên hàm I=∫√1−x2dx,x∈[0;π2], nếu đặt x=sint thì nguyên hàm I tính theo biến t trở thành:

    A. I=t+sin2t+C.

    B. I=t2+cos2t+C.

    C. I=t2+sin2t4+C.

    D. I=t2−cos2t4+C.

    Giải:

    Đặt x=sint⇔dx=costdt và 1−x2=1−sin2t=cos2t

    Suy ra

    ∫√1−x2dx=∫√cos2tcostdt=∫cos2tdt=∫1+cos2t2dt=∫(12+12cos2t)dt=t2+sin2t4+C.

    (Vì x∈[0;π2]⇒cosx>0 ⇒√cos2x=cosx)

    Vậy I=t2+sin2t4+C.

    Chọn C.

    Các dấu hiệu thường dùng phương pháp đổi biến trên là:

    Xem toàn bộ nội dung Toán 12:

    (437) 1457 26/07/2022
    Bài viết đã được lưu
    Bài trước
    Bài sau  
    Tìm thêm: Lý thuyết Lý Thuyết Lớp 12 Toán 12