Nguyên hàm (phương pháp đổi biến)

Lý thuyết về sử dụng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm môn toán lớp 12 với nhiều dạng bài cùng phương pháp giải nhanh kèm bài tập vận dụng
(413) 1377 26/07/2022
Bài viết đã được lưu
Chia sẻ

Nội dung bài viết

    Xem thêm

    1. Kiến thức cần nhớ

    - Vi phân:

    \(\begin{array}{l}t = u\left( x \right) \Rightarrow dt = u'\left( x \right)dx\\u\left( t \right) = v\left( x \right) \Rightarrow u'\left( t \right)dt = v'\left( x \right)dx\end{array}\)

    - Công thức đổi biến:

    \(\int {f\left[ {u\left( x \right)} \right]u'\left( x \right)dx}  = \int {f\left( t \right)dt} \) \( = F\left( t \right) + C = F\left( {t\left( x \right)} \right) + C\)

    2. Một số dạng toán thường gặp

    Dạng 1: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến \(t = u\left( x \right)\).

    - Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), trong đó \(u\left( x \right)\) là hàm được chọn thích hợp.

    - Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).

    - Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).

    - Bước 4: Tính nguyên hàm: \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {g\left( t \right)dt} \) \( = G\left( t \right) + C = G\left( {u\left( x \right)} \right) + C\).

    Ví dụ: Tính nguyên hàm \(\int {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx} \).

    Giải:

    Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1}  \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 \) \( \Rightarrow 2tdt = 2xdx\).

    Do đó: \(\int {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx}  = \int {\sqrt {{x^2} + 1} .2xdx}  \) \(= \int {t.2tdt}  = \int {2{t^2}dt}  = \dfrac{2}{3}{t^3} + C \) \(= \dfrac{2}{3}\sqrt {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}}  + C\).

    Dạng 2: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến \(x = u\left( t \right)\).

    - Bước 1: Đặt \(x = u\left( t \right)\), trong đó \(u\left( t \right)\) là hàm số ta chọn thích hợp.

    - Bước 2: Lấy vi phân 2 vế \(dx = u'\left( t \right)dt\).

    - Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx = f\left( {u\left( t \right)} \right).u'\left( t \right)dt = g\left( t \right)dt\).

    - Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {g\left( t \right)dt}  = G\left( t \right) + C\)

    Ví dụ: Cho nguyên hàm $I = \int {\sqrt {1 - {x^2}} \,{\rm{d}}x} ,\,\,\,x \in  \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]$, nếu đặt $x = \sin t$ thì nguyên hàm $I$ tính theo biến $t$ trở thành:

    A. $I = t + \sin 2t + C.$

    B. $I = \dfrac{t}{2} + \cos 2t + C.$

    C. $I = \dfrac{t}{2} + \dfrac{{\sin 2t}}{4} + C.$

    D. $I = \dfrac{t}{2} - \dfrac{{\cos 2t}}{4} + C.$

    Giải:

    Đặt $x = \sin t \Leftrightarrow dx = \cos t\,dt$ và $1 - {x^2} = 1 - {\sin ^2}t = {\cos ^2}t$

    Suy ra

    $\begin{array}{l}\int {\sqrt {1 - {x^2}} \,{\rm{d}}x}  = \int {\sqrt {{{\cos }^2}t} \,\cos t\,{\rm{d}}t}  = \int {{{\cos }^2}t\,{\rm{d}}t}  = \int {\dfrac{{1 + \cos 2t}}{2}\,{\rm{d}}t} \\ = \int {\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos 2t} \right){\rm{d}}t}  = \dfrac{t}{2} + \dfrac{{\sin 2t}}{4} + C.\end{array}$

    (Vì \(x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow \cos x > 0\) \( \Rightarrow \sqrt {{{\cos }^2}x}  = \cos x\))

    Vậy $I = \dfrac{t}{2} + \dfrac{{\sin 2t}}{4} + C.$

    Chọn C.

    Các dấu hiệu thường dùng phương pháp đổi biến trên là:

    Xem toàn bộ nội dung Toán 12:

    (413) 1377 26/07/2022
    Bài viết đã được lưu
    Bài trước
    Chia sẻ
    Bài sau  
    Tìm thêm: Lý thuyết Lý Thuyết Lớp 12 Toán 12