Nguyên hàm

Lý thuyết về nguyên hàm môn toán lớp 12 với nhiều dạng bài cùng phương pháp giải nhanh kèm bài tập vận dụng
(434) 1445 26/07/2022
Bài viết đã được lưu

Nội dung bài viết

    Xem thêm

    1. Kiến thức cần nhớ

    + Định nghĩa: ∫f(x)dx=F(x)+C⇔F′(x)=f(x)

    + Tính chất:

    1/ ∫f′(x)dx=f(x)+C

    2/∫kf(x)dx=k∫f(x)dx với ∀k≠0.

    3/ ∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

    + Sự tồn tại nguyên hàm của hàm số liên tục:

    Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

    + Nguyên hàm có tập xác định gồm hai hay nhiều khoảng:

    Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) và có tập xác định gồm hai hay nhiều khoảng, thì có thể chọn những hằng số khác nhau trên mỗi khoảng. Ví dụ:

    F(x)={−1x+C1khix<0−1x+C2khix>0

    Đây là nguyên hàm tổng quát nhất của hàm số f(x)=1x2 trên tập xác định (−∞;0)∪(0;+∞) của nó.

    + Bảng nguyên hàm:

    2. Một số dạng toán thường gặp

    Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số.

    Phương pháp:

    - Bước 1: Phân tích f(x) thành tổng (hiệu) các hàm số sơ cấp có nguyên hàm đã biết.

    - Bước 2: Sử dụng định nghĩa, tính chất, bảng nguyên hàm,…để tìm nguyên hàm các hàm số.

    Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=(x2−1)2x2.

    Giải:

    Ta có: f(x)=(x2−1)2x2=x4−2x2+1x2 =x2−2+1x2

    Do đó F(x)=∫(x2−2+1x2)dx =∫x2dx−2∫dx+∫1x2dx =x33−2x−1x+C.

    Dạng 2: Tìm hàm số cho biết đạo hàm và giá trị của hàm số tại một điểm.

    - Bước 1: Tìm nguyên hàm của hàm số đã cho, sử dụng định nghĩa, tính chất, bảng nguyên hàm,…

    - Bước 2: Thay giá trị đề bài cho vào và tìm hằng số C suy ra hàm số cần tìm.

    Ví dụ: Tìm hàm số F(x) biết F′(x)=x−13√x trên (0;+∞) và F(1)=3.

    Giải:

    Ta có:

    F′(x)=x−13√x=(x−1)x−13=x23−x−13⇒F(x)=∫F′(x)dx=∫(x23−x−13)dx

    =x23+123+1−x−13+1−13+1+C=35x53−32x23+C

    Lại có F(1)=3 nên 35.153−32.123+C=3⇔C=3910.

    Vậy F(x)=35x53−32x23+3910.

    Xem toàn bộ nội dung Toán 12:

    (434) 1445 26/07/2022
    Bài viết đã được lưu
    Bài trước
    Bài sau  
    Tìm thêm: Lý thuyết Lý Thuyết Lớp 12 Toán 12