Logarit (Số e và logarit tự nhiên)

a) Logarit tự nhiên

Định nghĩa:

Logarit cơ số $e$ của 1 số dương $a$ được gọi là logarit tự nhiên (logarit Nê-pe) của số $a$ và kí hiệu là $\ln a$.

$\ln a = b \Leftrightarrow a = {e^b}\left( {a > 0} \right);e \approx 2,71828...$

Tính chất:

Lôgarit tự nhiên có đầy đủ tính chất của logarit với cơ số lớn hơn 1.

b) Công thức lãi kép liên tục (hoặc công thức tăng trưởng mũ)

$T = A.{e^{Nr}}$, ở đó $A$ là số tiền gửi ban đầu, $r$ là lãi suất, $N$ là số kì hạn.

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức logarit tự nhiên.

Phương pháp:

- Bước 1: Biến đổi các biểu thức có chứa $\ln$ sử dụng những tính chất của logarit tự nhiên.

- Bước 2: Thực hiện tính toán dựa vào thứ tự thực hiện phép tính:

+ Nếu không có ngoặc: Lũy thừa (căn bậc $n$) $\to$ nhân, chia $\to$ cộng, trừ.

+ Nếu có ngoặc: Thực hiện trong ngoặc $\to$ lũy thừa (căn bậc $n$) $\to$ nhân, chia $\to$ cộng, trừ.

Dạng 2: So sánh các biểu thức có chứa logarit tự nhiên.

Phương pháp:

- Bước 1: Đơn giản các biểu thức đã cho bằng cách sử dụng tính chất của logarit và logarit tự nhiên.

- Bước 2: So sánh các biểu thức sau khi đơn giản, sử dụng một số tính chất của so sánh logarit.

Dạng 3: Biểu diễn một logarit hoặc rút gọn biểu thức có chứa logarit qua các logarit đã cho.

Phương pháp:

- Bước 1: Tách biểu thức cần biểu diễn ra để xuất hiện các logarit đề bài cho bằng cách sử dụng các tính chất của logarit.

- Bước 2: Thay các giá trị bài cho vào và rút gọn sử dụng thứ tự thực hiện phép tính:

+ Nếu không có ngoặc: Lũy thừa (căn bậc $n$) $\to$ nhân, chia $\to$ cộng, trừ.

+ Nếu có ngoặc: Thực hiện trong ngoặc $\to$ lũy thừa (căn bậc $n$) $\to$ nhân, chia $\to$ cộng, trừ.

Dạng 4: Bài toán lãi kép liên tục.

Một người gửi vào ngân hàng số tiền $A$ đồng, lãi suất $r$ theo năm, tính số tiền có được sau $N$ năm.

Phương pháp:

Sử dụng công thức tăng trưởng mũ:

$T = A.{e^{Nr}}$, ở đó $A$ là số tiền gửi ban đầu, $r$ là lãi suất, $N$ là số kì hạn.