Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Định nghĩa: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $K$ ($K$ có thể là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)

- Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là đồng biến trên $K$ nếu $\forall {x_1},{x_2} \in K:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$

- Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là nghịch biến trên $K$ nếu $\forall {x_1},{x_2} \in K:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$.

a) Nếu $f'\left( x \right) > 0,\forall x \in K$ thì hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $K$

b) Nếu $f'\left( x \right) < 0,\forall x \in K$ thì hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $K$

Định lý mở rộng:Giả sử hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $K$

a) Nếu $f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in K$ và $f'\left( x \right) = 0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên $K$

b) Nếu $f'\left( x \right) \le 0,\forall x \in K$ và $f'\left( x \right) = 0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên $K$

Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.

- Bước 2: Tính đạo hàm $f'\left( x \right)$, tìm các điểm ${x_1},{x_2},...,{x_n}$ mà tại đó đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

- Bước 3: Xét dấu đạo hàm và nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

+ Các khoảng mà $f'\left( x \right) > 0$ là các khoảng đồng biến của hàm số.

+ Các khoảng mà $f'\left( x \right) < 0$ là các khoảng nghịch biến của hàm số.

Dạng 2: Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên R.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $f'\left( x \right)$.

- Bước 2: Nêu điều kiện của bài toán:

+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $R \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in R$ và $y' = 0$ tại hữu hạn điểm.

+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $R \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in R$ và $y' = 0$ tại hữu hạn điểm.

- Bước 3: Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm $m$.

Dạng 3: Tìm m để hàm số đơn điệu trên miền D cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Nêu điều kiện để hàm số đơn điệu trên D:

+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $D \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \geqslant 0, \forall x \in D$.

+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $D \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \leqslant 0, \forall x \in D$.

- Bước 2: Từ điều kiện trên sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm $m$.

Dạng 4: Tìm m để hàm số $y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}$ đồng biến, nghịch biến trên khoảng $\left( {\alpha ;\beta } \right)$

- Bước 1: Tính $y'$.

- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến:

+ Hàm số đồng biến trên $\left( {\alpha ;\beta } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' = f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {\alpha ;\beta } \right)\\ - \dfrac{d}{c} \notin \left( {\alpha ;\beta } \right)\end{array} \right.$

+ Hàm số nghịch biến trên $\left( {\alpha ;\beta } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' = f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {\alpha ;\beta } \right)\\ - \dfrac{d}{c} \notin \left( {\alpha ;\beta } \right)\end{array} \right.$

- Bước 3: Kết luận.