Phương pháp giải các bài toán về mối quan hệ giữa hai đường thẳng

1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho $d,d'$ là các đường thẳng có VTCP lần lượt là $\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ,M \in d,M' \in d'$ . Ta có:

+) $d \equiv d' \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ,\overrightarrow {MM'}$ đôi một cùng phương $\Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MM'} } \right] = \overrightarrow 0$

+) $d//d' \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow {u'}$  cùng phương nhưng $\overrightarrow u ,\overrightarrow {MM'}$ không cùng phương $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MM'} } \right] \ne \overrightarrow 0 \end{array} \right.$

+) $d$ cắt $d' \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow {u'}$ không cùng phương và $\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ,\overrightarrow {MM'}$ đồng phẳng $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]\overrightarrow {MM'}  = 0\end{array} \right.$

+) $d$ chéo $d' \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ,\overrightarrow {MM'}$  không đồng phẳng $\Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]\overrightarrow {MM'}  \ne 0$

Ngoài ra, ta có thể giải hệ phương trình của hai đường thẳng để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:

+) Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì $d$ cắt $d'$.

+) Nếu hệ vô số nghiệm thì $d \equiv d'$.

+) Nếu hệ vô nghiệm thì:

$d//d'$  nếu $\overrightarrow u  = k\overrightarrow {u'}$ hay $\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'}$ cùng phương.

$d$ chéo $d'$ nếu $\overrightarrow u  \ne k\overrightarrow {u'}$ hay $\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'}$ không cùng phương.

2. Khoảng cách và góc

a) Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $d'$

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng:

c) Góc giữa hai đường thẳng có các VTCP lần lượt là: $\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'}$: