Phương pháp giải các bài toán về mặt phẳng và đường thẳng

Dạng 1: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.

Phương pháp:

- Gọi tọa độ của giao điểm theo tham số của đường thẳng.

- Thay tọa độ vào phương trình mặt phẳng, tìm tham số suy ra điểm cần tìm.

Dạng 2: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.

Phương pháp:

- Tìm các VTPT $\overrightarrow n$ của mặt phẳng, VTCP $\overrightarrow u$ của đường thẳng.

- Dựa vào mối quan hệ của $\overrightarrow n ,\overrightarrow u$ để kết luận:

+ Nếu $\overrightarrow n ,\overrightarrow u$ cùng phương thì $\left( P \right) \bot d$

+ Nếu $\overrightarrow n ,\overrightarrow u$ có phương vuông góc thì $\left( P \right)//d$ hoặc $d \subset \left( P \right)$

Trường hợp $d \subset \left( P \right)$ sẽ xảy ra nếu thêm điều kiện một điểm thuộc $d$ thì thuộc $\left( P \right)$.

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng.

Phương pháp:

- Tìm tọa độ điểm đi qua.

- Tìm một VTPT của mặt phẳng.

- Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có VTPT tìm được ở trên.

Một số dạng phương trình mặt phẳng:

+) Đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng.

Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $d$.

- Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $d$ thì $\left( P \right)$ nhận $\overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {{u_d}}$  làm VTPT.

+) Đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng khác.

Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A$ và song song với đường thẳng $d,d'$.

- $\left( P \right)$ song song với đường thẳng $d,d'$ nên $\left( P \right)$ nhận $\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right]$ làm VTPT.

+) Đi qua hai điểm và song song với đường thẳng.

Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua hai điểm $A,B$ và song song với đường thẳng $d$.

- $\left( P \right)$ đi qua $A,B$ và song song với đường thẳng $d$ nên nó đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right]$

Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng.

Phương pháp:

- Tìm tọa độ điểm đi qua.

- Tìm một VTCP của đường thẳng.

- Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có VTCP như trên.

Một số dạng phương trình đường thẳng liên quan đến mặt phẳng.

+) Đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng.

Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$

- Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ thì nó nhận $\overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_P}}$ làm VTCP.

+) Hình chiếu của một đường thẳng trên một mặt phẳng.

- Viết phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $d$ và vuông góc với $\left( P \right)$

($\left( Q \right)$ đi qua điểm $M \in d$ và nhận $\overrightarrow {{n_Q}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right]$ làm VTPT).

- Đường thẳng $d'$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right)$ nên $d':\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right)\\\left( Q \right)\end{array} \right.$

+) Đường thẳng đi qua một điểm, vuông góc với đường thẳng và song song với mặt phẳng.

Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$, vuông góc với $d'$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$.

- $d \bot d',d//\left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_{d'}}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right]$