Phương pháp giải bài tập xác định cực đại - cực tiểu giao thoa sóng

I. Bảng công thức xác định số cực đại, cực tiểu giữa hai nguồn

II. Phương pháp giải bài tập xác định cực đại - Cực tiểu trong giao thoa sóng

1. DẠNG 1: TÌM SỐ ĐIỂM DAO ĐỘNG CỰC ĐẠI - CỰC TIỂU GIỮA HAI NGUỒN.

Phương pháp

- Hai nguồn cùng pha:

( \({{\bf{S}}_{\bf{1}}}{{\bf{S}}_{\bf{2}}} = {\bf{AB}}{\rm{ }} = \ell \))

Số Cực đại giữa hai nguồn:  \( - \dfrac{l}{\lambda } < k < \dfrac{l}{\lambda }\)   và \(k \in Z\)

Số Cực tiểu giữa hai nguồn: \( - \dfrac{l}{\lambda } - \dfrac{1}{2} < k < \dfrac{l}{\lambda } - \dfrac{1}{2}\)  và \(k \in Z\) . hay \( - \dfrac{l}{\lambda } < k + 0,5 <  + \dfrac{l}{\lambda }{\rm{     (k}} \in {\rm{Z)}}\)

- Hai nguồn ngược pha: \(\Delta \varphi = {\varphi _1} - {\varphi _2} = \pi \)

Điểm dao động cực đại:  \({d_1}-{\rm{ }}{d_2} = \left( {2k + 1} \right)\dfrac{\lambda }{2}{\rm{       }}(k \in Z)\)

Số đường hoặc số điểm dao động cực đại (không tính hai nguồn):

Số Cực đại: \( - \dfrac{l}{\lambda } - \dfrac{1}{2} < k < \dfrac{l}{\lambda } - \dfrac{1}{2}\)  Hay \( - \dfrac{l}{\lambda } < k + 0,5 <  + \dfrac{l}{\lambda }{\rm{     (k}} \in {\rm{Z)}}\)

Điểm dao động cực tiểu (không dao động): \({d_1}-{\rm{ }}{d_2} = k\lambda {\rm{     }}(k \in Z)\)

Số đường hoặc số điểm dao động cực tiểu  (không tính hai nguồn):

Số Cực tiểu: \( - \dfrac{l}{\lambda } < k <  + \dfrac{l}{\lambda }{\rm{     (k}} \in {\rm{Z)}}\)

- Hai nguồn vuông pha: \(\Delta \varphi = \left( {2k + 1} \right)\dfrac{\pi }{2}\)

+ Phương trình hai nguồn kết hợp: \({u_A} = A\cos \omega t\);\({u_B} = A\cos (\omega t + \dfrac{\pi }{2})\).

+ Phương trình sóng tổng hợp tại M: \(u = 2A\cos \left( {\dfrac{\pi }{\lambda }\left( {{d_2} - {d_1}} \right) - \dfrac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {\omega t - \dfrac{\pi }{\lambda }\left( {{d_1} + {d_2}} \right) + \dfrac{\pi }{4}} \right)\)

+  Độ lệch pha của hai sóng thành phần tại M: \(\Delta \varphi  = \dfrac{{2\pi }}{\lambda }\left( {{d_2} - {d_1}} \right) - \dfrac{\pi }{2}\)

+ Biên độ sóng tổng hợp:   \(u = 2A\left| {\cos \left( {\dfrac{\pi }{\lambda }\left( {{d_2} - {d_1}} \right) - \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right|{A_M} = \)

* Số Cực đại: \( - \dfrac{l}{\lambda } + \dfrac{1}{4} < k <  + \dfrac{l}{\lambda } + \dfrac{1}{4}{\rm{     (k}} \in {\rm{Z)}}\)    

* Số Cực tiểu:\( - \dfrac{l}{\lambda } - \dfrac{1}{4} < k <  + \dfrac{l}{\lambda } - \dfrac{1}{4}{\rm{     (k}} \in {\rm{Z)}}\)    Hay  \( - \dfrac{l}{\lambda } < k + 0,25 <  + \dfrac{l}{\lambda }{\rm{     (k}} \in {\rm{Z)}}\)

Nhận xét: số điểm cực đại và cực tiểu trên đoạn AB là bằng nhau nên có thể dùng 1 công thức là đủ

=> Số giá trị nguyên của k thoả mãn các biểu thức trên là số đường cần tìm.

2. DẠNG 2: SỐ ĐIỂM DAO ĐỘNG VỚI BIÊN ĐỘ CỰC ĐẠI - CỰC TIỂU GIỮA HAI ĐIỂM BẤT KÌ:

Phương pháp:

Số cực đại và cực tiểu trên đoạn thẳng nối hai điểm M và N trong vùng có giao thoa (M gần S₁ hơn S₂ còn N thì xa S₁ hơn S₂) là số các giá trị của k \((k \in Z)\) tính theo công thức sau ( không tính hai nguồn):

- Dùng công thức:

Số Cực đại: \(\dfrac{{{S_1}M - {S_2}M}}{\lambda } + \dfrac{{\Delta \varphi }}{2} < k < \dfrac{{{S_1}N - {S_2}N}}{\lambda } + \dfrac{{\Delta \varphi }}{2}\)

Số Cực tiểu: \(\dfrac{{{S_1}M - {S_2}M}}{\lambda } - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\Delta \varphi }}{2} < k < \dfrac{{{S_1}N - {S_2}N}}{\lambda } - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\Delta \varphi }}{2}\)

=> Với các nguồn:

+ Hai nguồn dao động cùng pha: ( $\Delta \varphi = k2\pi$)

* Số Cực đại: \(\dfrac{{{S_1}M - {S_2}M}}{\lambda } < {\rm{ }}k{\rm{ }} < \dfrac{{{S_1}N - {S_2}N}}{\lambda }\)

* Số Cực tiểu: \(\dfrac{{{S_1}M - {S_2}M}}{\lambda } - \dfrac{1}{2} < {\rm{ }}k{\rm{ }} < \dfrac{{{S_1}N - {S_2}N}}{\lambda } - \dfrac{1}{2}\)

+ Hai nguồn dao động ngược pha: \(\Delta \varphi  = \left( {{\bf{2k}} + {\bf{1}}} \right)\pi \)

* Số Cực đại: \(\dfrac{{{S_1}M - {S_2}M}}{\lambda } + \dfrac{1}{2} < {\rm{ }}k{\rm{ }} < \dfrac{{{S_1}N - {S_2}N}}{\lambda } + \dfrac{1}{2}\)

* Số Cực tiểu: \(\dfrac{{{S_1}M - {S_2}M}}{\lambda } < {\rm{ }}k{\rm{ }} < \dfrac{{{S_1}N - {S_2}N}}{\lambda }\)

+ Hai nguồn dao động vuông pha: \(\Delta \varphi  = \dfrac{{\left( {{\bf{2k}} + {\bf{1}}} \right)\pi }}{2}\)

* Số Cực đại: \(\dfrac{{{S_1}M - {S_2}M}}{\lambda } + \dfrac{1}{4} < {\rm{ }}k{\rm{ }} < \dfrac{{{S_1}N - {S_2}N}}{\lambda } + \dfrac{1}{4}\)

* Số Cực tiểu: \(\dfrac{{{S_1}M - {S_2}M}}{\lambda } - \dfrac{1}{4} < {\rm{ }}k{\rm{ }} < \dfrac{{{S_1}N - {S_2}N}}{\lambda } - \dfrac{1}{4}\)

Nhận xét: số điểm cực đại và cực tiểu trên đoạn AB là bằng nhau nên có thể dùng 1 công thức

Số giá trị nguyên của k thoả mãn các biểu thức trên là số điểm( đường)  cần tìm

3. DẠNG 3: SỐ ĐIỂM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU TRÊN ĐOẠN CD TẠO VỚI AB MỘT HÌNH VUÔNG HOẶC HÌNH CHỮ NHẬT.

Phương pháp:

• TH1: Hai nguồn A, B dao động cùng pha:

Cách 1: Ta tìm số điểm cực đại trên đoạn DI.  do DC =2DI, kể cả đường trung trực của CD.

 => Số điểm cực đại trên đoạn DC là: \(k' = 2k + 1\)

Đặt : \(DA = {d_1}\), \(DB = {d_2}\)

Bước 1: Số điểm cực đại trên đoạn DI thoã mãn :

\({d_2} - {d_1} = k\lambda  \Rightarrow k = \dfrac{{{d_2} - {d_1}}}{\lambda } = \dfrac{{BD - AD}}{\lambda }\) Với k thuộc Z.

Bước 2 :

Vậy số điểm cực đại trên đoạn CD là : \(k' = 2k + 1\)

Số điểm cực tiểu trên đoạn CD : \(k'' = 2k\)

Cách 2 : Số điểm cực đại trên đoạn CD thoã mãn : \(\left\{ \begin{array}{l}{d_2} - {d_1} = k\lambda \\AD - BD < {d_2} - {d_1} < AC - BC\end{array} \right.\)

Suy ra : \(AD - BD < k\lambda  < AC - BC\) Hay : \(\dfrac{{AD - BD}}{\lambda } < k < \dfrac{{AC - BC}}{\lambda }\).

Giải suy ra k

Số điểm cực tiểu trên đoạn CD thoã mãn : \(\left\{ \begin{array}{l}{d_2} - {d_1} = (2k + 1)\dfrac{\lambda }{2}\\AD - BD < {d_2} - {d_1} < AC - BC\end{array} \right.\)

Suy ra : \(AD - BD < (2k + 1)\dfrac{\lambda }{2} < AC - BC\) Hay : \(\dfrac{{2(AD - BD)}}{\lambda } < 2k + 1 < \dfrac{{2(AC - BC)}}{\lambda }\).

Giải suy ra k

• TH2: Hai nguồn A, B dao động ngược pha ta đảo lại kết quả.

Đặt : \(AD = {d_1}\), \(BD = {d_2}\)

Tìm Số Điểm Cực Đại Trên Đoạn CD :

Số điểm cực đại trên đoạn CD thoã mãn : \(\left\{ \begin{array}{l}{d_2} - {d_1} = (2k + 1)\dfrac{\lambda }{2}\\AD - BD < {d_2} - {d_1} < AC - BC\end{array} \right.\)

Suy ra : \(AD - BD < (2k + 1)\dfrac{\lambda }{2} < AC - BC\) Hay : \(\dfrac{{2(AD - BD)}}{\lambda } < 2k + 1 < \dfrac{{2(AC - BC)}}{\lambda }\) 

Giải suy ra k

Tìm Số Điểm Cực Tiểu Trên Đoạn CD:

Số điểm cực tiểu trên đoạn CD thoã mãn : \(\left\{ \begin{array}{l}{d_2} - {d_1} = k\lambda \\AD - BD < {d_2} - {d_1} < AC - BC\end{array} \right.\)

Suy ra : \(AD - BD < k\lambda  < AC - BC\) Hay : \(\dfrac{{AD - BD}}{\lambda } < k < \dfrac{{AC - BC}}{\lambda }\)

Giải suy ra k

4. DẠNG 4: XÁC ĐỊNH SỐ ĐIỂM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU TRÊN ĐOẠN THẲNG LÀ ĐƯỜNG CHÉO CỦA MỘT HÌNH VUÔNG HOẶC HÌNH CHỮ NHẬT

Phương pháp:  

Xác định số điểm dao động cực đại trên đoạn CD,

biết ABCD là hình vuông .Giả sử tại C dao động cực đại, ta có:

\({d_2}-{\rm{ }}{d_1} = k\lambda  = AB\sqrt 2  - AB\)

\( \to k = \dfrac{{AB(\sqrt 2  - 1)}}{\lambda } \to \) Số điểm dao động cực đại

5. DẠNG 5: TÌM SỐ ĐIỂM DAO ĐỘNG VỚI BIÊN ĐỘ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU TIỂU TRÊN ĐƯỜNG TRÒN (HOẶC TÌM SỐ ĐIỂM DAO ĐỘNG VỚI BIÊN ĐỘ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU TRÊN ĐƯỜNG ELIP, HÌNH CHỮ NHẬT, HÌNH VUÔNG, PARABOL… )

 Phương pháp:

Ta tính số điểm cực đại hoặc cực tiểu trên đoạn AB là k. Suy ra số điểm cực đại hoặc cực tiểu trên đường tròn là 2.k . Do mỗi đường cong hypebol cắt đường tròn tại 2 điểm.

6. DẠNG 6: XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ, KHOẢNG CÁCH CỦA ĐIỂM M DAO ĐỘNG CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU TRÊN ĐOẠN THẲNG LÀ ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA AB , HOẶC TRÊN ĐOẠN THẲNG VUÔNG GÓC VỚI HAI NGUỒN A,B.

Phương pháp:

Xét 2 nguồn cùng pha ( Xem hình vẽ bên)

 Giả sử tại M có dao động với biên độ cực đại.

- Khi  \(\left| k \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}1\) thì :

Khoảng cách lớn nhất từ một điểm M  đến hai nguồn là : d₁=MA

Từ công thức :\(\dfrac{{ - AB}}{\lambda } < k < \dfrac{{AB}}{\lambda }\)  với  \(k = 1\) , Suy ra được AM 

- Khi  \(\left| {k{\rm{ }}} \right| = \left| {{K_{max}}} \right|\) thì :

Khoảng cách ngắn nhất từ một điểm M’ đến hai nguồn là: d₁= M’A

Từ công thức :\(\dfrac{{ - AB}}{\lambda } < k < \dfrac{{AB}}{\lambda }\) với  \(k{\rm{ }} = {\rm{ }}{k_{max}}\) _, Suy ra được AM’

Lưu ý :

 -Với 2 nguồn ngược pha ta làm tương tự.

 - Nếu  tại M có dao đông với biên độ cực tiểu ta cũng làm tương tự.