Tích của một véc tơ với một số

Lý thuyết về Tích của một véc tơ với một số MÔN TOÁN Lớp 10 với nhiều phương pháp giải nhanh kèm bài tập vận dụng
(390) 1299 29/07/2022
Bài viết đã được lưu
Chia sẻ

Nội dung bài viết

    Xem thêm

    1. Định nghĩa

    Tích của vectơ $\overrightarrow a $ với số thực \(k \ne 0\) là một vectơ, kí hiệu là $k\overrightarrow a $, cùng hướng với $\overrightarrow a $ nếu $k > 0$, ngược hướng với $\overrightarrow a $ nếu $k < 0$ và có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\)

    Quy ước: $0\overrightarrow a  = \overrightarrow 0 $ và $k\overrightarrow 0  = \overrightarrow 0 $

    2. Tính chất

    $\begin{array}{l}{\rm{ i}}){\rm{ }}(k{\rm{ }} + {\rm{ }}m)\overrightarrow a  = k\overrightarrow a  + m\overrightarrow a \\ {\rm{ii}}){\rm{ }}k(\overrightarrow a  \pm \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a  \pm k\overrightarrow b \\{\rm{iii}})\,\,k(m\overrightarrow a ){\rm{ }} = {\rm{ }}(km)\overrightarrow a \\{\rm{ iv}})\,\,\,k\overrightarrow a  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 0\\\overrightarrow a  = \overrightarrow 0 \end{array} \right.\\{\rm{v)  1}}\overrightarrow a  = \overrightarrow a ,\,\,\,( - {\rm{1)}}\overrightarrow a  =  - \overrightarrow a \end{array}$

    3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

    +) $\overrightarrow b $ cùng phương $\overrightarrow a $($\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 $) khi và chỉ khi có số \(k\) thỏa  $\overrightarrow b  = k\overrightarrow a $

    +) Điều kiện cần và đủ để  $A,B,C$  thẳng hàng là có số $k$ sao cho $\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} $

    4. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

    Cho $\overrightarrow a $ không cùng phương $\overrightarrow b $. Với mọi vectơ $\overrightarrow x $ luôn được biểu diễn $\overrightarrow x  = m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b $ với \(m,\,\,n\) là các số thực duy nhất.

    Phương pháp phân tích một véc tơ qua hai véc tơ không cùng phương

    Sử dụng các quy tắc ba điểm (xen thêm điểm vào giữa để làm xuất hiện các véc tơ không cùng phương đề bài yêu cầu), các tính chất trung điểm, trọng tâm, tích của một véc tơ với một số để biến đổi làm sao cho xuất hiện.

    Một kết quả hay được sử dụng khi phân tích một véc tơ qua hai véc tơ không cùng phương như sau:

    Cho đoạn thẳng \(AB\), một điểm \(I \in AB\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  = k\overrightarrow {IB} \) thì với điểm \(M\) bất kì ta luôn có:

    \(\overrightarrow {MI}  = \dfrac{{ - 1}}{{k - 1}}\overrightarrow {MA}  + \dfrac{k}{{k - 1}}\overrightarrow {MB} \)

    Chứng minh:

    Ta có:

    \(\overrightarrow {MI}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AI} \) \( = \overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {IA} \) \( = \overrightarrow {MA}  - k\overrightarrow {IB} \) \( = \overrightarrow {MA}  - k\left( {\overrightarrow {IM}  + \overrightarrow {MB} } \right)\) \( = \overrightarrow {MA}  - k\overrightarrow {IM}  - k\overrightarrow {MB} \) \( = \overrightarrow {MA}  + k\overrightarrow {MI}  - k\overrightarrow {MB} \)

    Suy ra \(  \overrightarrow {MI}= \overrightarrow {MA}  + k\overrightarrow {MI}  - k\overrightarrow {MB} \)

    \( \Rightarrow \overrightarrow {MI}  - k\overrightarrow {MI}  = \overrightarrow {MA}  - k\overrightarrow {MB} \) \( \Leftrightarrow \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {MI}  = \overrightarrow {MA}  - k\overrightarrow {MB} \) \( \Leftrightarrow \left( {k - 1} \right)\overrightarrow {MI}  =  - \overrightarrow {MA}  + k\overrightarrow {MB} \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {MI}  = \dfrac{{ - 1}}{{k - 1}}\overrightarrow {MA}  + \dfrac{k}{{k - 1}}\overrightarrow {MB} \) (đpcm)

    Xem toàn bộ nội dung Toán 10:

    (390) 1299 29/07/2022
    Bài viết đã được lưu
    Bài trước
    Chia sẻ
    Bài sau  
    Tìm thêm: Lý thuyết Lý thuyết lớp 10 Toán 10