Phương pháp giải các bài toán về hàm số bậc hai

Dưới đây là một số dạng toán thường gặp liên quan đến hàm số bậc hai

Dạng 1: Tìm điều kiện tham số để đồ thị hàm số đi qua điểm cho trước.

Phương pháp:

Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số nếu tọa độ của nó thỏa mãn phương trình hàm số.

Ví dụ 1: Tìm \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^2} - mx + 1\) đi qua điểm \(M\left( {1;2} \right)\).

Giải:

Đồ thị hàm số đi qua \(M\left( {1;2} \right)\)\( \Rightarrow \) thay \(x = 1;y = 2\) ta được:

\(2 = {1^2} - m.1 + 1 \Leftrightarrow 2 = 2 - m \Leftrightarrow m = 0\)

Vậy \(m = 0\) là giá trị cần tìm.

Dạng 2: Viết phương trình parabol đi qua ba điểm.

Phương pháp:

- Bước 1: Gọi phương trình parabol: \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\).

- Bước 2: Thay tọa độ ba điểm vào phương trình parabol.

- Bước 3: Giải hệ phương trình tìm \(a,b,c\).

Ví dụ 2: Lập phương trình parabol đi qua các điểm \(A\left( {0;0} \right),B\left( {1;1} \right),C\left( { - 1;1} \right)\).

Giải:

Gọi phương trình parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\).

Do \(\left( P \right)\) đi qua các điểm \(A\left( {0;0} \right),B\left( {1;1} \right),C\left( { - 1;1} \right)\) nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a{.0^2} + b.0 + c\\1 = a{.1^2} + b.1 + c\\1 = a.{\left( { - 1} \right)^2} + b.\left( { - 1} \right) + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a + b = 1\\a - b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\\c = 0\end{array} \right.\)

Vậy phương trình parabol là \(y = {x^2}\).

Dạng 3: Viết phương trình parabol biết đỉnh và đi qua một điểm.

Phương pháp:

- Bước 1: Gọi phương trình parabol: \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\).

- Bước 2: Lập hệ phương trình ẩn \(a,b,c\) từ các dữ kiện bài cho.

- Bước 3: Giải hệ phương trình tìm \(a,b,c\).

Ví dụ 3: Lập phương trình parabol có đỉnh \(\left( { - 1;3} \right)\) và đi qua điểm \(\left( {0;4} \right)\).

Giải:

Gọi phương trình parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\)

Do \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(\left( {0;4} \right)\) và đỉnh \(\left( { - 1;3} \right)\) nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}4 = a{.0^2} + b.0 + c\\ - \dfrac{b}{{2a}} =  - 1\\a.{\left( { - 1} \right)^2} + b.\left( { - 1} \right) + c = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 4\\b = 2a\\a - b + c = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 4\\a = 1\\b = 2\end{array} \right.\)

Vậy phương trình parabol là \(y = {x^2} + 2x + 4\).

Dạng 4: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc hai theo tham số.

(Áp dụng cho bài toán cô lập được \(m\) từ phương trình).

Phương pháp:

- Bước 1: Rút \(m\) từ phương trình, đưa về dạng \(f\left( x \right) = g\left( m \right)\).

- Bước 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

- Bước 3: Biện luận số nghiệm dựa vào số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = g\left( m \right)\).

Ví dụ 4: Biện luận số nghiệm của phương trình \({x^2} - x + m - 1 = 0\).

Giải:

Ta có: \({x^2} - x + m - 1 = 0 \Leftrightarrow m =  - {x^2} + x + 1\)

Số nghiệm của phương trình đã cho chính là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y =  - {x^2} + x + 1\) với đường thẳng \(y = m\).

Xét hàm số \(y =  - {x^2} + x + 1\) có đồ thị là parabol như hình vẽ:

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy:

+ Khi \(m < \dfrac{5}{4}\) thì đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số tại đúng \(2\) điểm phân biệt.

Do đó phương trình đã cho có \(2\) nghiệm phân biệt.

+ Khi \(m = \dfrac{5}{4}\) thì đường thẳng \(y = m\) tiếp xúc với đồ thị hàm số hay chỉ có \(1\) điểm chung với đồ thị hàm số.

Do đó phương trình đã cho có \(1\) nghiệm duy nhất.

+ Khi \(m > \dfrac{5}{4}\) thì đường thẳng không cắt đồ thị hàm số hay không có điểm chung với đồ thị hàm số.

Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.

Kết luận:

+ Nếu \(m < \dfrac{5}{4}\) thì phương trình đã cho có \(2\) nghiệm phân biệt.

+ Nếu \(m = \dfrac{5}{4}\) thì phương trình đã cho có \(1\) nghiệm duy nhất.

+ Nếu \(m > \dfrac{5}{4}\) thì phương trình đã cho vô nghiệm.