Phương pháp giải các bài toán về hàm số bậc hai
Dưới đây là một số dạng toán thường gặp liên quan đến hàm số bậc hai
Dạng 1: Tìm điều kiện tham số để đồ thị hàm số đi qua điểm cho trước.
Phương pháp:
Điểm M(x0;y0) thuộc đồ thị hàm số nếu tọa độ của nó thỏa mãn phương trình hàm số.
Ví dụ 1: Tìm m để đồ thị hàm số y=x2−mx+1 đi qua điểm M(1;2).
Giải:
Đồ thị hàm số đi qua M(1;2)⇒ thay x=1;y=2 ta được:
2=12−m.1+1⇔2=2−m⇔m=0
Vậy m=0 là giá trị cần tìm.
Dạng 2: Viết phương trình parabol đi qua ba điểm.
Phương pháp:
- Bước 1: Gọi phương trình parabol: y=ax2+bx+c(a≠0).
- Bước 2: Thay tọa độ ba điểm vào phương trình parabol.
- Bước 3: Giải hệ phương trình tìm a,b,c.
Ví dụ 2: Lập phương trình parabol đi qua các điểm A(0;0),B(1;1),C(−1;1).
Giải:
Gọi phương trình parabol (P):y=ax2+bx+c(a≠0).
Do (P) đi qua các điểm A(0;0),B(1;1),C(−1;1) nên:
{0=a.02+b.0+c1=a.12+b.1+c1=a.(−1)2+b.(−1)+c⇔{c=0a+b=1a−b=1⇔{a=1b=0c=0
Vậy phương trình parabol là y=x2.
Dạng 3: Viết phương trình parabol biết đỉnh và đi qua một điểm.
Phương pháp:
- Bước 1: Gọi phương trình parabol: y=ax2+bx+c(a≠0).
- Bước 2: Lập hệ phương trình ẩn a,b,c từ các dữ kiện bài cho.
- Bước 3: Giải hệ phương trình tìm a,b,c.
Ví dụ 3: Lập phương trình parabol có đỉnh (−1;3) và đi qua điểm (0;4).
Giải:
Gọi phương trình parabol (P):y=ax2+bx+c(a≠0)
Do (P) đi qua điểm (0;4) và đỉnh (−1;3) nên:
{4=a.02+b.0+c−b2a=−1a.(−1)2+b.(−1)+c=3⇔{c=4b=2aa−b+c=3⇔{c=4a=1b=2
Vậy phương trình parabol là y=x2+2x+4.
Dạng 4: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc hai theo tham số.
(Áp dụng cho bài toán cô lập được m từ phương trình).
Phương pháp:
- Bước 1: Rút m từ phương trình, đưa về dạng f(x)=g(m).
- Bước 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=f(x).
- Bước 3: Biện luận số nghiệm dựa vào số giao điểm của đồ thị hàm số y=f(x) và đường thẳng y=g(m).
Ví dụ 4: Biện luận số nghiệm của phương trình x2−x+m−1=0.
Giải:
Ta có: x2−x+m−1=0⇔m=−x2+x+1
Số nghiệm của phương trình đã cho chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y=−x2+x+1 với đường thẳng y=m.
Xét hàm số y=−x2+x+1 có đồ thị là parabol như hình vẽ:
Quan sát đồ thị hàm số ta thấy:
+ Khi m<54 thì đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số tại đúng 2 điểm phân biệt.
Do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
+ Khi m=54 thì đường thẳng y=m tiếp xúc với đồ thị hàm số hay chỉ có 1 điểm chung với đồ thị hàm số.
Do đó phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất.
+ Khi m>54 thì đường thẳng không cắt đồ thị hàm số hay không có điểm chung với đồ thị hàm số.
Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.
Kết luận:
+ Nếu m<54 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
+ Nếu m=54 thì phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất.
+ Nếu m>54 thì phương trình đã cho vô nghiệm.