Ôn tập chương 7

1. Các định nghĩa

+ Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu $A,$ điểm cuối $B$ là $\overrightarrow {AB}$.

+ Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.

+ Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu $\left| {\overrightarrow {AB} } \right|$.

+ Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu $\vec 0$.

+ Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

+ Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

+ Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.

Chú ý:

+) Ta còn sử dụng kí hiệu $\vec a,\,\,\vec b,\,...$ để biểu diễn vectơ.

+) Qui ước: Vectơ $\vec 0$ cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.

+) Mọi vectơ $\vec 0$ đều bằng nhau.

2. Tổng, hiệu hai véc tơ

a. Tổng của hai vectơ

+) Qui tắc ba điểm: Với ba điểm $A,B,C$ tuỳ ý, ta có: $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}$.

+) Qui tắc hình bình hành: Với $ABCD$ là hình bình hành, ta có: $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}$.

+) Tính chất: $\vec a + \vec b = \vec b + \vec a$;$\left( {\vec a + \vec b} \right) + \vec c = \vec a + \left( {\vec b + \vec c} \right)$;$\vec a + \vec 0 = \vec a$

b. Hiệu của hai vectơ

+) Vectơ đối của $\vec a$ là vectơ $\vec b$ sao cho $\vec a + \vec b = \vec 0$. Kí hiệu vectơ đối của $\vec a$ là $- \vec a$.

+) Vectơ đối của $\vec 0$ là $\vec 0$.

+) $\vec a - \vec b = \vec a + \left( { - \vec b} \right)$.

3. Tích của một véc tơ với một số

*) Cho vectơ $\vec a$ và số $k \in R.$ $k\vec a$ là một vectơ được xác định như sau:

+ $k\vec a$ cùng hướng với $\vec a$ nếu $k \ge 0,$ $k\vec a$ ngược hướng với $\vec a$ nếu $k < 0.$

+ $\left| {k\vec a} \right| = \left| k \right|.\left| {\vec a} \right|$

*) Tính chất                                                       

$k\left( {\vec a + \vec b} \right) = k\vec a + k\vec b$;

$(k + l)\vec a = k\vec a + l\vec a$;

$k\left( {l\vec a} \right) = (kl)\vec a$

$k\vec a = \vec 0$ $\Leftrightarrow k = 0$ hoặc $\vec a = \vec 0$.

*) Điều kiện để hai vectơ cùng phương

$\vec a$ và $\vec b\left( { \ne \vec 0} \right)$ cùng phương $\Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{R}:\vec b = k\vec a$

*) Điều kiện ba điểm thẳng hàng

$A,B,C$ thẳng hàng $\Leftrightarrow k \ne 0:\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC}$.

*) Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Cho hai vectơ không cùng phương $\vec a,\,\vec b$ và $\vec x$ tuỳ ý. Khi đó $\exists !m,n \in \mathbb{R}:\vec x = m\vec a + n\vec b$

Chú ý:

+) Hệ thức trung điểm đoạn thẳng

$M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \vec 0$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = 2\overrightarrow {OM}$ ($O$ tuỳ ý).

+) Hệ thức trọng tâm tam giác

$G$ là trọng tâm $\Delta ABC$ $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \vec 0$  $\Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 3\overrightarrow {OG}$ ($O$ tuỳ ý).

4. Hệ trục tọa độ

a. Tọa độ điểm

Trong hệ trục tọa độ $\left( {O;\overrightarrow i ,\overrightarrow j } \right)$, tọa độ của vectơ $\overrightarrow {OM}$ gọi là tọa độ của điểm $M,$ kí hiệu là $M = \left( {x;y} \right)$ hay $M\left( {x;y} \right)$.  $x$ được gọi là hoành độ, $y$ được gọi là tung độ của điểm $M.$

Tọa độ trung điểm, trọng tâm tam giác

    + Cho $A({x_A};{y_A}),{\rm{ }}B({x_B};{y_B})$ và $M$ là trung điểm $AB.$ Tọa độ trung điểm $M\left( {{x_M};{y_M}} \right)$ của đoạn thẳng AB là  ${x_M} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2},\,\,{y_M} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}$

    + Cho tam giác $ABC$ có $A({x_A};{y_A}),{\rm{ }}B({x_B};{y_B}),\,\,C\left( {{x_C};{y_C}} \right)$. Tọa độ trọng tâm $G\left( {{x_G};{y_G}} \right)$ của tam giác $ABC$ là ${x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}$  và  ${y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}$

b. Biểu thứ tọa độ của các phép toán vectơ.

Cho $\overrightarrow u  = (x;y)$ ;$\overrightarrow {u'}  = (x';y')$ và số thực $k.$ Khi đó ta có :

   1) $\overrightarrow u  = \overrightarrow {u'}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x'\\y = y'\end{array} \right.$

   2) $\overrightarrow u  \pm \overrightarrow v  = (x \pm x';y \pm y')$

   3) $k.\overrightarrow u  = (kx;ky)$

   4) $\overrightarrow {u'}$ cùng phương $\overrightarrow u$($\overrightarrow u  \ne \overrightarrow 0$) khi và chỉ khi có số $k$ sao cho $\left\{ \begin{array}{l}x' = kx\\y' = ky\end{array} \right.$

   5) Cho $A({x_A};{y_A}),{\rm{ }}B({x_B};{y_B})$ thì  $\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)$