Một số khái niệm phương trình đường thẳng

Các khái niệm véc tơ pháp tuyến, véc tơ chỉ phương, phương trình tổng quát, tham số của đường thẳng và điều kiện để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

(405)

1. Vectơ pháp tuyến và véc tơ chỉ phương của đường thẳng

Định nghĩa: Cho đường thẳng $\Delta$

- Vectơ $\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0$ gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của $\Delta$ nếu giá của $\overrightarrow n$ vuông góc với $\Delta$

- Vectơ $\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0$ gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của nó song song hoặc trùng với $\Delta$

Nhận xét:

- Nếu $\overrightarrow n \left( {\overrightarrow u } \right)$ là VTPT (VTCP) của $\Delta$ thì $k\overrightarrow n \left( {k \ne 0} \right)$ hoặc $k\overrightarrow u$ cũng là VTPT (VTCP) của $\Delta$

- VTPT và VTCP vuông góc với nhau: $\overrightarrow {{n_\Delta }} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0$

- Nếu $\Delta$ có VTCP $\overrightarrow u = (a;b)$ thì $\overrightarrow n = ( - b;a)$ là một VTPT của $\Delta$

2. Phương trình tổng quát, tham số của đường thẳng

a) Phương trình tổng quát

Cho đường thẳng $\Delta$ đi qua ${M_0}({x_0};{y_0})$ và có VTPT $\overrightarrow n = (a;b)$ . Khi đó:

$\Delta :a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0$

Phương trình trên được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$

- Nếu đường thẳng $\Delta :ax + by + c = 0$ thì $\overrightarrow n = (a;b)$ là VTPT của $\Delta$ .

- Điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc $\Delta :ax + by + c = 0$ $\Leftrightarrow a{x_0} + b{y_0} + c = 0$

b) Phương trình tham số của đường thẳng:

Cho đường thẳng $\Delta$ đi qua ${M_0}({x_0};{y_0})$ và $\overrightarrow u = (a;b)$ là VTCP. Khi đó:

$\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.{\rm{ }}t \in R\,\,\,\left( 1 \right)$

Hệ (1) gọi là phương trình tham số của đường thẳng $\Delta ,t$ gọi là tham số

Nhận xét‎‎‎‎ : Nếu $\Delta$ có phương trình tham số là (1) thì $A \in \Delta \Leftrightarrow A({x_0} + at;{y_0} + bt)$

c) Phương trình chính tắc.

Cho đường thẳng $\Delta$ đi qua ${M_0}({x_0};{y_0})$ và $\overrightarrow u = (a;b)$ (với $a \ne 0,\,\,b \ne 0$ ) là vectơ chỉ phương thì phương trình $\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b}$ được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ .

3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng ${d_1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0;$ ${\rm{ }}{d_2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0$

${d_1}$ cắt ${d_2}$ khi và chỉ khi $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right| \ne 0$

${d_1}//{d_2}$ khi và chỉ khi $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right| = 0$ và $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}}&{{c_1}}\\{{b_2}}&{{c_2}}\end{array}} \right| \ne 0$ , hoặc $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right| = 0$ và $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{c_1}}&{{a_1}}\\{{c_2}}&{{a_2}}\end{array}} \right| \ne 0$

${d_1} \equiv {d_2}$ khi và chỉ khi $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}}&{{c_1}}\\{{b_2}}&{{c_2}}\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{c_1}}&{{a_1}}\\{{c_2}}&{{a_2}}\end{array}} \right| = 0$

Với trường hợp ${a_2}.{b_2}.{c_2} \ne 0$ khi đó

+ Nếu $\dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \ne \dfrac{{{b_1}}}{{{b_2}}}$ thì hai đường thẳng cắt nhau.

+ Nếu $\dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \dfrac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \dfrac{{{c_1}}}{{{c_2}}}$ thì hai đường thẳng song song nhau.

+ Nếu $\dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \dfrac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \dfrac{{{c_1}}}{{{c_2}}}$ thì hai đường thẳng trùng nhau.

+ Nếu ${a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 0$ thì hai đường thẳng vuông góc.

(405)

Bài trước

Bài sau

Tìm thêm: Lý thuyết Lý thuyết lớp 10 Toán 10

Lịch sử và Địa lý 6 - KNTT

Ngữ văn 6 - KNTT

Tiếng anh 6 - Sách RIGHT ON

Tiếng Anh 6 - Sách I-LEARN SMART WORLD

Toán 6 - KNTT

Khoa học tự nhiên 6 - CD

Lịch sử và Địa lý 6 - CTST

Khoa học tự nhiên 6 - CTST

Tiếng anh 6 - KNTT

Tiếng anh 6 - CTST

Ngữ văn 6 - CTST

Toán 6 - CTST

Lịch sử và Địa lý 6 - CD

Ngữ Văn 6 - Cánh diều

Toán 6 - Cánh diều

Khoa học tự nhiên 6 - KNTT

Tiếng anh 6 - Sách ENGLISH DISCOVERY

Tiếng anh 12

GDCD 12

Sinh học 12

Địa lý 12

Lịch sử 12

Tiếng anh 12 (mới)

Hóa học 12

Vật lý 12

Ngữ Văn 12

Toán 12

Toán 11

Tiếng anh 11

GDCD 11

Sinh học 11

Địa lý 11

Lịch sử 11

Hóa học 11

Vật lý 11

Ngữ Văn 11

Ngữ Văn 10

Toán 10

Vật lý 10

Hóa học 10

Tiếng anh 10

Môn GDCD 10

Sinh học 10

Địa lý 10

Lịch sử 10

Tiếng anh 8

Lịch sử 8

Sinh học 8

Địa lý 8

Hoá học 8

Vật lý 8

Ngữ văn 8

Toán 8

Lịch sử 9

Tiếng anh 9

Sinh học 9

Địa lý 9

Hóa học 9

Vật lý 9

Ngữ Văn 9

Toán 9

Tiếng Anh 7

Sinh học 7

Địa lý 7

Lịch sử 7

Vật lý 7

Ngữ Văn 7

Toán 7

Tiếng việt 1 - CTST

Tiếng việt 1 - KNTT

Tiếng việt 1 - Cánh diều

Toán 1

Tiếng việt 1

Toán 3

Tiếng việt 3

Tiếng Việt 5

Toán 5

Tiếng việt 4

Toán 4

Lượng tử ánh sáng