Phương trình: ${z^2}-2z + 5 = 0$

Có: $\Delta ' = 1 - 5 =  - 4 = 4{i^2}$

   $ \Rightarrow \sqrt {\Delta '}  = \sqrt {4{i^2}}  = 2i$

\( \Rightarrow \) Phương trình có $2$  nghiệm là: ${z_1} = 1 + 2i;{z_2} = 1 - 2i$

Khi đó: $A\left( {1;2} \right),B(1; - 2)$

Tọa độ trung điểm đoạn thẳng $AB$ là: $\left( {1;0} \right)$

$\overline z = 2 - 5i \Rightarrow w = i\left( {2 + 5i} \right) + 2 - 5i =  - 3 - 3i$.

Ta có \({z^2} + 2z + 10 = 0 \Leftrightarrow {\left( {z + 1} \right)^2} = {\left( {3i} \right)^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z =  - 1 + 3i = {z_1}\\z =  - 1 - 3i = {z_2}\end{array} \right..\)

Suy ra \(P = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = {\left( {\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} } \right)^2} = 10 + 10 = 20\).

Ta có \(z = i\left( {1 - i} \right) = i - {i^2} = i - \left( { - 1} \right) = 1 + i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right..\)

Ta có: \(\Delta  = {\left( { - 3i} \right)^2} - 4.2.i = 9{i^2} - 8i =  - 9 - 8i\) 

Ta có $\dfrac{{1 - i}}{{z + 1}} = 1 + i \Leftrightarrow z + 1 = \dfrac{{1 - i}}{{1 + i}}$ $ \Leftrightarrow z + 1 =  - i \Rightarrow z =  - 1 - i$

Suy ra $w = {z^3} + 1 = {\left( { - 1 - i} \right)^3} + 1 =  - {\left( {1 + i} \right)^3} + 1 = 3 - 2i$

$ \Rightarrow M\left( {3; - 2} \right)$

Gọi \(z = x + yi{\rm{ }}\left( {x;{\rm{ }}y \in \mathbb{R}} \right)\) và \(M\left( {x;y} \right)\) biểu diễn \(z\) trên mặt phẳng tọa độ.

Phần tô đậm là phần nằm dưới đường thẳng \(y=x\) và trong đường tròn tâm O bán kính 3 nên tọa độ của M thỏa mãn:

 \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} \le 9\\y \le x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + {y^2}}  \le 3\\y \le x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| z \right| \le 3\\y \le x\end{array} \right..\)

Ta có \(z = {\left( {x + iy} \right)^2} - 2\left( {x + iy} \right) + 5\)\( = {x^2} + 2ixy - {y^2} - 2x - 2iy + 5\)

\( = \left( {{x^2} - {y^2} - 2x + 5} \right) + 2\left( {xy - y} \right)i.\)

Để \(z\) là số thực \( \Leftrightarrow 2\left( {xy - y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\\x = 1\end{array} \right.\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} =  - \dfrac{B}{A} = \dfrac{{ - 2i}}{1} =  - 2i\\{z_1}{z_2} = \dfrac{C}{A} = \dfrac{i}{1} = i\end{array} \right.\)

Vậy \({z_1} + {z_2} =  - 2i\).

Đặt $z = a + bi \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $

Ta có: $\left| z \right| + z = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}}  + a + bi = 0 + 0i$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\\sqrt {{a^2} + {b^2}}  + a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\\left| a \right| + a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a \le 0\end{array} \right.$

Từ $z = 3 + 2i$, suy ra $\bar z = 3 - 2i$.

Vậy phần thực bằng \(3\) và phần ảo bằng \( - 2\).

Ta có: $z = 1 + \sqrt 3 i \Rightarrow \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 3 i}} = \dfrac{{1 - \sqrt 3 i}}{{(1 - \sqrt 3 i)(1 + \sqrt 3 i)}} $

$= \dfrac{{1 - \sqrt 3 i}}{{{1^2} - {{(\sqrt 3 i)}^2}}} = \dfrac{{1 - \sqrt 3 i}}{4} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}i$

1) Sai vì nếu \(\Delta  < 0\) thì phương trình có $2$  nghiệm phức

2) Đúng

3) Đúng

Vậy có $2$  mệnh đề đúng

Giả sử \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = R.\)

Khi đó \(A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\) nằm trên đường tròn \(\left( {O;R} \right)\).

Do \({z_1} + {z_2} = 0\) nên hai điểm \(A,{\rm{ }}B\) đối xứng nhau qua \(O.\) Như vậy điểm \(C\) nằm trên đường tròn đường kính \(AB\) (bỏ đi hai điểm \(A\) và \(B\)) hay tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\).

Ta có: \({\left| z \right|^2} = {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow {b^2} = {\left| z \right|^2} - {a^2} \Leftrightarrow b = \pm \sqrt {{{\left| z \right|}^2} - {a^2}} \)

Vậy phần ảo của số phức đó là $ b=\pm \sqrt {{{13}^2} - {{12}^2}}  =  \pm 5$.

Ta có $w = {i^5}\left( {1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^{13}}} \right) $ $= i.\left( {1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^{13}}} \right).$

Dễ thấy $T = 1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^{13}}$ là tổng của cấp số nhân có $14$ số hạng, trong đó số hạng đầu tiên ${u_1} = 1$, công bội $q = i$.

Do đó $T = {u_1}\dfrac{{1 - {q^{14}}}}{{1 - q}} = 1.\dfrac{{1 - {i^{14}}}}{{1 - i}} = \dfrac{{1 + 1}}{{1 - i}}$ $ = \dfrac{{2\left( {1 + i} \right)}}{{1 + 1}} = 1 + i$

Vậy \(w = i\left( {1 + i} \right) =  - 1 + i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow S = a + b = 0\)

Ta có: $\overline z  = \left( {4 - 3i} \right)\left( {1 + i} \right) = 7 + i \Rightarrow z = 7 - i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {50}  = 5\sqrt 2 $

Phương trình $6{z^4} + 19{z^2} + 15 = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {2{z^2} + 3} \right)\left( {3{z^2} + 5} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{z^2} =  - \,3\\3{z^2} =  - \,5\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} =  - \dfrac{3}{2}\\{z^2} =  - \dfrac{5}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = \dfrac{{3{i^2}}}{2}\\{z^2} = \dfrac{{5{i^2}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z =  \pm \,\dfrac{{i\sqrt 6 }}{2}\\z =  \pm \,\dfrac{{i\sqrt {15} }}{3}\end{array} \right.$ $ \Rightarrow T = \dfrac{2}{{i\sqrt 6 }} - \dfrac{2}{{i\sqrt 6 }} + \dfrac{3}{{i\sqrt {15} }} - \dfrac{3}{{i\sqrt {15} }} = 0$

Đặt \({\rm{w}} = x + yi\). Khi đó:

\(\begin{array}{l}{z_1} = x + yi + 2i = x + \left( {y + 2} \right)i;{z_2} = 2(x + yi) - 3 = \left( {2x - 3} \right) + 2yi \\ \Rightarrow {z_2} = \left( {2x - 3} \right) - 2yi\\{z_1} = \overline {{z_2}}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2x - 3\\y + 2 =  - 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 3 + \dfrac{4}{3}i\\{z_2} = 3 - \dfrac{4}{3}i\end{array} \right. \\ \Rightarrow T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)}^2}}  + \sqrt {{3^2} + {{\left( { - \dfrac{4}{3}} \right)}^2}}  = \dfrac{{2\sqrt {97} }}{3}\end{array}\)

Biệt số $\Delta  = 4 - 8 =  - 4 = {\left( {2i} \right)^2}$.

Do đó phương trình có hai nghiệm phức: ${z_1} = \dfrac{{2 - 2i}}{2} = 1 - i$ và ${z_2} = \dfrac{{2 + 2i}}{2} = 1 + i$.

Suy ra       $z_1^{2016} = {\left( {1 - i} \right)^{2016}} = {\left[ {{{\left( {1 - i} \right)}^2}} \right]^{1008}} = {\left( { - 2i} \right)^{1008}} = {\left( { - 2} \right)^{1008}}.{i^{1008}} = {2^{1008}}.1 = {2^{1008}}$;

                   $z_2^{2016} = {\left( {1 + i} \right)^{2016}} = {\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^2}} \right]^{1008}} = {\left( {2i} \right)^{1008}} = {2^{1008}}.{i^{1008}} = {2^{1008}}.1 = {2^{1008}}$.

Vậy $P = z_1^{2016} + z_2^{2016} = {2^{1008}} + {2^{1008}} = {2^{1009}}$.

Đặt $z = x + yi{\rm{ }}\left( {x,y \in R} \right)$ thì ${\left| z \right|^2} = {z^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {x^2} + 2xyi - {y^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 0\\{x^2} + {y^2} = {x^2} - {y^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = 0\end{array} \right.$

Do đó tập điểm biểu diễn $z$ là đường thẳng $y = 0$.

Giả sử ta có số phức $z = x + yi$. Thay vào điều kiện \(2|z - 1 - 2i| = |3i + 1 - 2\bar z|\) có

\(2|(x + yi) - 1 - 2i| = |3i + 1 - 2(x - yi)| \Leftrightarrow 2|(x - 1) + (y - 2)i| = |(1 - 2x) + (3 + 2y)i|\) \( \Leftrightarrow 2\sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y - 2)}^2}}  = \sqrt {{{(1 - 2x)}^2} + {{(3 + 2y)}^2}} \)

\( \Leftrightarrow 4{(x - 1)^2} + 4{(y - 2)^2} = {(1 - 2x)^2} + {(3 + 2y)^2}\)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} - 8x + 4 + 4{y^2} - 16y + 16 = 4{x^2} - 4x + 1 + 4{y^2} + 12y + 9\)

\( \Leftrightarrow 4x + 28y - 10 = 0\)

\( \Leftrightarrow 2x + 14y - 5 = 0\)

Có \(\dfrac{{4 + 2i}}{{1 - i}} = 1 + 3i\). Đặt \(z = x + yi\) thì

\(\dfrac{{4 + 2i}}{{1 - i}}z - 1 = (1 + 3i)(x + yi) - 1 = (x - 3y - 1) + (3x + y)i\)

Điều kiện đã cho trong bài được viết lại thành

\({(x - 3y - 1)^2} + {(3x + y)^2} = 1\)

\( \Leftrightarrow {(x - 3y)^2} - 2(x - 3y) + 1 + {(3x + y)^2} = 1\)

\( \Leftrightarrow 10{x^2} + 10{y^2} - 2x + 6y = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - \dfrac{1}{5}x} \right) + \left( {{y^2} + \dfrac{3}{5}y} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{1}{{10}}} \right)^2} + {\left( {y + \dfrac{3}{{10}}} \right)^2} = \dfrac{1}{{10}}\) (*)

Điểm biểu diễn \(M(x,y)\) của \(z\) chạy trên đường tròn (*). Cần tìm điểm \(M(x,y)\) thuộc đường tròn này để $OM$ nhỏ nhất.

Vì đường tròn này qua $O$ nên min $OM = 0$ khi \(M \equiv O\) hay $M\left( {0,0} \right)$, do đó $z = 0$ hay $min\left| z \right| = 0$.

Giả sử $z = a + bi\left( {a,b \in R} \right)$ ta có:

$\left| {z + 3 + 4i} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {(a + 3) + (b + 4)i} \right| = 2 \Leftrightarrow {(a + 3)^2} + {(b + 4)^2} = 4$

Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thuộc đường tròn tâm $I\left( { - 3; - 4} \right)$ và bán kính $r = 2$

Từ hình vẽ ta thấy số phức \({z_0}\) có mô đun nhỏ nhất nếu \({z_0}\) có điểm biểu diễn là \(M\).

Ta có: $\overrightarrow {OI}  = ( - 3; - 4)$  nên đường thẳng đi qua \(O\) và \(I\) là $OI:\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = 4t\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {3t;4t} \right)$

Mặt khác $M \in \left( C \right)$ nên: ${\left( {3t + 3} \right)^2} + {\left( {4t + 4} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow 25{t^2} + 50t + 21 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \dfrac{{ - 3}}{5}\\t = \dfrac{{ - 7}}{5}\end{array} \right.$

$M\left( {\dfrac{{ - 9}}{5};\dfrac{{ - 12}}{5}} \right)$ hoặc $M\left( {\dfrac{{ - 21}}{5};\dfrac{{ - 28}}{5}} \right)$

$M\left( {\dfrac{{ - 9}}{5};\dfrac{{ - 12}}{5}} \right)$ thuộc $\left( C \right)$  và gần $O$ nhất.

$ \Rightarrow z = \dfrac{{ - 9}}{5} - \dfrac{{12}}{5}i \Rightarrow \left| z \right| = 3$

Gọi $z=x+yi\left( x,y\in R \right)$

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ gọi $P\left( {x;y} \right)$ là điểm biểu diễn của số phức $z$

Gọi $A\left( {-2;1} \right),B\left( {4;7} \right)$ thì

$\begin{array}{l}AB = 6\sqrt 2  = \left| {z + 2 - i} \right| + \left| {z - 4 - 7i} \right|\\ = \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 7} \right)}^2}}  = PA + PB\end{array}$

Suy ra tập hợp các điểm $P$ thỏa mãn chính là đoạn thẳng AB

Có $\left| {z - 1 + i} \right| = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}  = PC$ với $C\left( {1;-1} \right)$

Do đó \(P{C_{\min }}\) khi \(P\) là hình chiếu của \(C\) lên \(AB\) và \(P{C_{\max }}\) khi \(P \equiv B\)

Suy ra $M = CB = \sqrt {73} $.

Ta có: \(AB:\dfrac{{x + 2}}{{4 + 2}} = \dfrac{{y - 1}}{{7 - 1}} \Leftrightarrow x - y + 3 = 0\)\( \Rightarrow m=d\left( {C,AB} \right) = \dfrac{{\left| {1 - \left( { - 1} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{5}{{\sqrt 2 }}\)

$\Rightarrow M + m = \dfrac{{5\sqrt 2  + 2\sqrt {73} }}{2}$