Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {1,2, - 4} \right);{\rm{ }}B\left( {1, - 3,1} \right){\rm{ }} và {\rm{ }}C\left( {2,2,3} \right)$. Mặt cầu $(S) $ đi qua $A,B,C$ và có tâm thuộc mặt phẳng $(xOy) $ có bán kính là :
A.
\(\sqrt {34} \)
B.
\(\sqrt {26} \)
C.
$34$
D.
$26$
Lời giải của giáo viên
Đáp án đúng: b
Tâm $I$ thuộc mặt phẳng $\left( {xOy} \right):z = 0$ nên ta có $z = 0$ . Suy ra, giả sử $I\left( {x,y,0} \right)$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ qua $A,B,C$ nên ta có \(IA = IB = IC = R\)
Ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{B^2} = I{C^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(4)^2} = {(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {( - 1)^2}\\{(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {( - 1)^2} = {(x - 2)^2} + {(y - 2)^2} + {(3)^2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4y + 4 + 16 = 6y + 9 + 1\\ - 2x + 1 + 6y + 9 + 1 = - 4x + 4 - 4y + 4 + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 10y = - 10\\2x + 10y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = - 2\end{array} \right.\).
Vậy $I\left( { - 2,1,0} \right)$.
Có \(IA = \sqrt {26} = R\)
Hướng dẫn giải:
- Gọi tọa độ tâm \(I\) thỏa mãn phương trình mặt phẳng.
- Mặt cầu tâm \(I\) đi qua \(3\) điểm nếu \(IA = IB = IC\), từ đó tìm \(I\) và suy ra phương trình mặt cầu.
Giải thích thêm:
Cách 2: Tâm I của (S) là giao của các mặt phẳng trung trực của AB, AC và mặt phẳng xOy.
(Vì mặt phẳng trung trực của AB là tập hợp tất cả các điểm cách đều A và B, mặt phẳng trung trực của AC là tập hợp tất cả các điểm cách đều A và C. Giao tuyến của hai mặt phẳng này cách đều 3 điểm A, B, C. Mà I cũng cách đều A, B, C nên I là giao điểm của hai mặt phẳng này và xOy).
Mặt phẳng trung trực của AB là: \(y-z-1=0\)
Mặt phẳng trung trực của AC là: \(x+7z+2=0\)
Tâm \(I(-2;1;0)\). Vậy \(R=IA=\sqrt{26}\)
Tâm $I$ thuộc mặt phẳng $\left( {xOy} \right):z = 0$ nên ta có $z = 0$ . Suy ra, giả sử $I\left( {x,y,0} \right)$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ qua $A,B,C$ nên ta có \(IA = IB = IC = R\)
Ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{B^2} = I{C^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(4)^2} = {(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {( - 1)^2}\\{(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {( - 1)^2} = {(x - 2)^2} + {(y - 2)^2} + {(3)^2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4y + 4 + 16 = 6y + 9 + 1\\ - 2x + 1 + 6y + 9 + 1 = - 4x + 4 - 4y + 4 + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 10y = - 10\\2x + 10y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = - 2\end{array} \right.\).
Vậy $I\left( { - 2,1,0} \right)$.
Có \(IA = \sqrt {26} = R\)
Hướng dẫn giải:
- Gọi tọa độ tâm \(I\) thỏa mãn phương trình mặt phẳng.
- Mặt cầu tâm \(I\) đi qua \(3\) điểm nếu \(IA = IB = IC\), từ đó tìm \(I\) và suy ra phương trình mặt cầu.
Giải thích thêm:
Cách 2: Tâm I của (S) là giao của các mặt phẳng trung trực của AB, AC và mặt phẳng xOy.
(Vì mặt phẳng trung trực của AB là tập hợp tất cả các điểm cách đều A và B, mặt phẳng trung trực của AC là tập hợp tất cả các điểm cách đều A và C. Giao tuyến của hai mặt phẳng này cách đều 3 điểm A, B, C. Mà I cũng cách đều A, B, C nên I là giao điểm của hai mặt phẳng này và xOy).
Mặt phẳng trung trực của AB là: \(y-z-1=0\)
Mặt phẳng trung trực của AC là: \(x+7z+2=0\)
Tâm \(I(-2;1;0)\). Vậy \(R=IA=\sqrt{26}\)
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{3} = \dfrac{z}{2}\), mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y - z + 3 = 0\) và điểm \(A\left( {1;2 - 1} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) cắt \(d\) và song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình là:
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+4z-1=0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+y-z-m=0.\) Tìm tất cả m để \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\left( -1;-2;0 \right),B\left( 0;-4;0 \right),C\left( 0;0;-3 \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) nào dưới đây đi qua A, gốc tọa độ O và cách đều hai điểm B và C?
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm $A\left( {1; - 1;0} \right),\,\,B\left( {1;0; - 2} \right),$ $C\left( {3; - 1; - 1} \right)$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $BC$.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z + 1}}{2}$, điểm $A (2; -1; 1)$. Gọi $I$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $d$. Viết phương trình mặt cầu $(C)$ có tâm $I$ và đi qua $A$.
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z - 3 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + 5 = 0\). Giả sử \(M \in \left( P \right)\) và \(N \in \left( S \right)\) sao cho \(\overrightarrow {MN} \) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1;0;1} \right)\) và khoảng cách \(MN\) lớn nhất. Tính \(MN\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho ba điểm \(A\left( 1;0;0 \right),\,\,B\left( 0;2;0 \right),\,\,C\left( 0;0;-\,3 \right).\) Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC,\) thì độ dài đoạn \(OH\) là
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm \(A(0;2; - 1)\) , \(B(2;0;1)\). Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc trong mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ sao cho :\(M{A^2} + M{B^2}\) đạt giá trị bé nhất.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( {1;0;3} \right),B\left( {11; - 5; - 12} \right)$. Điểm $M\left( {a;b;c} \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ sao cho $3M{A^2} + 2M{B^2}$ nhỏ nhất. Tính $P = a + b + c$
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 6z + 5 = 0$. Tiếp diện của $(S)$ tại điểm $M(-1;2;0)$ có phương trình là:
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) là:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ có phương trình \(\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{y + 2}}{2} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 4}}\) và \(d':\dfrac{{x + 1}}{4} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{2}\) . Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng $d$ nhưng thuộc đường thẳng \(d'\)?
Tung độ của điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow j - \overrightarrow i + \overrightarrow k \) là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(M\) thỏa mãn hệ thức \(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow i + \overrightarrow j \). Tọa độ của điểm \(M\) là: