Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z + 1}}{2}$, điểm $A (2; -1; 1)$. Gọi $I$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $d$. Viết phương trình mặt cầu $(C)$ có tâm $I$ và đi qua $A$.
A.
${x^2} + {(y - 3)^2} + {(z - 1)^2} = 20$
B.
${x^2} + {(y + 1)^2} + {(z + 2)^2} = 5$
C.
${(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 3)^2} = 20$
D.
${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 1)^2} = 14$
Lời giải của giáo viên
Đáp án đúng: d
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $A$ , vuông góc $\left( d \right)$ là:
$ - 1.\left( {x - 2} \right) + 1.\left( {y + 1} \right) + 2.\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow -x + y + 2z + 1 = 0$
Gọi \(I\left( {1 - t;2 + t; - 1 + 2t} \right) = d \cap \left( P \right)\), khi đó:
\( - \left( {1 - t} \right) + \left( {2 + t} \right) + 2\left( { - 1 + 2t} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow I\left( {1;2; - 1} \right)\)
Có $I{A^2} = 14$. Phương trình mặt cầu là:
${\left( {x-1} \right)^2} + {\left( {y-2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 14$
Hướng dẫn giải:
+ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$, vuông góc $(d)$: nhận VTCP của $d$ làm VTPT
+ Tìm giao của $(d)$ và $(P)$ là $I$.
+ Tính $R = IA$. Viết phương trình mặt cầu.
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $A$ , vuông góc $\left( d \right)$ là:
$ - 1.\left( {x - 2} \right) + 1.\left( {y + 1} \right) + 2.\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow -x + y + 2z + 1 = 0$
Gọi \(I\left( {1 - t;2 + t; - 1 + 2t} \right) = d \cap \left( P \right)\), khi đó:
\( - \left( {1 - t} \right) + \left( {2 + t} \right) + 2\left( { - 1 + 2t} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow I\left( {1;2; - 1} \right)\)
Có $I{A^2} = 14$. Phương trình mặt cầu là:
${\left( {x-1} \right)^2} + {\left( {y-2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 14$
Hướng dẫn giải:
+ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$, vuông góc $(d)$: nhận VTCP của $d$ làm VTPT
+ Tìm giao của $(d)$ và $(P)$ là $I$.
+ Tính $R = IA$. Viết phương trình mặt cầu.
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{3} = \dfrac{z}{2}\), mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y - z + 3 = 0\) và điểm \(A\left( {1;2 - 1} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) cắt \(d\) và song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình là:
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+4z-1=0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+y-z-m=0.\) Tìm tất cả m để \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất.
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm $A\left( {1; - 1;0} \right),\,\,B\left( {1;0; - 2} \right),$ $C\left( {3; - 1; - 1} \right)$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $BC$.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\left( -1;-2;0 \right),B\left( 0;-4;0 \right),C\left( 0;0;-3 \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) nào dưới đây đi qua A, gốc tọa độ O và cách đều hai điểm B và C?
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z - 3 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + 5 = 0\). Giả sử \(M \in \left( P \right)\) và \(N \in \left( S \right)\) sao cho \(\overrightarrow {MN} \) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1;0;1} \right)\) và khoảng cách \(MN\) lớn nhất. Tính \(MN\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho ba điểm \(A\left( 1;0;0 \right),\,\,B\left( 0;2;0 \right),\,\,C\left( 0;0;-\,3 \right).\) Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC,\) thì độ dài đoạn \(OH\) là
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm \(A(0;2; - 1)\) , \(B(2;0;1)\). Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc trong mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ sao cho :\(M{A^2} + M{B^2}\) đạt giá trị bé nhất.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {1,2, - 4} \right);{\rm{ }}B\left( {1, - 3,1} \right){\rm{ }} và {\rm{ }}C\left( {2,2,3} \right)$. Mặt cầu $(S) $ đi qua $A,B,C$ và có tâm thuộc mặt phẳng $(xOy) $ có bán kính là :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( {1;0;3} \right),B\left( {11; - 5; - 12} \right)$. Điểm $M\left( {a;b;c} \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ sao cho $3M{A^2} + 2M{B^2}$ nhỏ nhất. Tính $P = a + b + c$
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 6z + 5 = 0$. Tiếp diện của $(S)$ tại điểm $M(-1;2;0)$ có phương trình là:
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) là:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ có phương trình \(\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{y + 2}}{2} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 4}}\) và \(d':\dfrac{{x + 1}}{4} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{2}\) . Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng $d$ nhưng thuộc đường thẳng \(d'\)?
Tung độ của điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow j - \overrightarrow i + \overrightarrow k \) là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(M\) thỏa mãn hệ thức \(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow i + \overrightarrow j \). Tọa độ của điểm \(M\) là: