Phương trình tham số \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Véc tơ \(\overrightarrow i \) là véc tơ đơn vị của trục \(Ox\).

A: \(\dfrac{{4 - 1}}{3} = \dfrac{{0 + 2}}{2} = \dfrac{{ - 1 - 3}}{{ - 4}} = 1 \Rightarrow N \in d\)

B:\(\dfrac{{1 - 1}}{3} = \dfrac{{ - 2 + 2}}{2} = \dfrac{{3 - 3}}{{ - 4}} = 0 \Rightarrow M \in d\)

C: \(\dfrac{{7 - 1}}{3} = \dfrac{{2 + 2}}{2} \ne \dfrac{{1 - 3}}{{ - 4}} \Rightarrow P \notin d\) và \(\dfrac{{7 + 1}}{4} = \dfrac{2}{1} \ne \dfrac{{1 + 1}}{2} \Rightarrow P \notin d'\)

D: \(\dfrac{{7 - 1}}{3} = \dfrac{{2 + 2}}{2} \ne \dfrac{{3 - 3}}{{ - 4}} \Rightarrow Q \notin d\) và \(\dfrac{{7 + 1}}{4} = \dfrac{2}{1} = \dfrac{{3 + 1}}{2} \Rightarrow Q \in d'\)

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  = \left( {a - 1;b - 2;c + 1} \right)\\\overrightarrow {BH}  = \left( {a - 2;b - 1;c - 1} \right)\end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 1;2} \right)\\\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1; - 1;3} \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left( { - 2;0;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1; - 5; - 2} \right)$.

Do $H$ là trực tâm của tam giác \(ABC\)

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2\left( {a - 1} \right) + \left( {c + 1} \right) = 0\\ - 1\left( {a - 2} \right) - 1\left( {b - 1} \right) + 3\left( {c - 1} \right) = 0\\ - 1\left( {a - 1} \right) - 5\left( {b - 2} \right) - 2\left( {c + 1} \right) = 0\end{array} \right.$

                $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + c =  - 3\\ - a - b + 3c = 0\\ - a - 5b - 2c =  - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\\c = 1\end{array} \right.$.

Do đó $a + b + c = 4$.

Phương trình mặt cầu $(S) $ có dạng ${(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + (z - 3){}^2 = {R^2}$

Phương trình tham số của $d$ là: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y = 2 + t\\z =  - 3 - t\end{array} \right.\)

Tọa độ giao điểm của $(S)$ và $d$ là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = {R^2}\\x =  - 1 + 2t\\y = 2 + t\\z =  - 3 - t\end{array} \right.\) (*)

$(S)$ tiếp xúc với $d$ khi và chỉ khi $(*)$ có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow {( - 2 + 2t)^2} + {(4 + t)^2} + {( - 6 - t)^2} = {R^2}\) có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow 6{t^2} + 12t + 56 - R{}^2 = 0\) có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( { - 6} \right)^2} - 6.(56 - R{}^2) = 0 \Leftrightarrow 6{R^2} - 300 = 0 \Leftrightarrow {R^2} = 50 \Leftrightarrow R = 5\sqrt 2 \)

Suy ra đường kính của mặt cầu $(S)$ là \(10\sqrt 2 \).

Ta có: \(\overrightarrow {BA}  = (0 - 1; - 2 - 0;3 + 1) = ( - 1; - 2;4)\). Suy ra A sai.

Suy ra \(\overrightarrow {AB}  = (1;2; - 4)\), D sai.

Có \(AB = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 4)}^2}}  = \sqrt {21} \). B đúng.

Mà \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(M\left( {\frac{1}{2}; - 1;1} \right)\), C sai.

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( { - 1;2; - 3} \right)$ và bán kính $R = 3$

Ta có : $M( - 1;2;0) \in \left( S \right)$

Gọi $\left( \alpha  \right)$  là mặt phẳng tiếp diện của $\left( S \right)$  tại $M$.

Khi đó $\left( \alpha  \right)$  đi qua $M$ và nhận $\overrightarrow {IM} \left( {0;0;3} \right)$ làm véctơ pháp tuyến

Vậy $\left( \alpha  \right):0(x + 1) + 0(y - 2) + 3(z - 0) = 0 \Leftrightarrow z = 0$

\(\overrightarrow {OM}  = 2\overrightarrow j  - \overrightarrow i  + \overrightarrow k  =  - \overrightarrow i  + 2\overrightarrow j  + \overrightarrow k  \Rightarrow M\left( { - 1;2;1} \right)\). Do đó tung độ của \(M\) bằng \(2\).

\(\overrightarrow {OM}  = 2\overrightarrow i  + \overrightarrow j  = 2\overrightarrow i  + \overrightarrow j  + 0\overrightarrow k  \) suy ra \(M \left( {2;1;0} \right)\)

$\left( S \right)$ có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a = -1,b =  m,c = -2\) và \(d = m + 5\).

$\left( S \right)$ là phương trình mặt cầu khi ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0 \Leftrightarrow 5 + {m^2} - (m + 5) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - m > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 1}\\{m < 0}\end{array}} \right.\)

Điểm $A\left( {1,1,1} \right)$ thuộc phương trình mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2my - 4z + m + 5 = 0\) thì ta có

\({1^2} + {1^2} + {1^2} - 2.1 + 2m.1 - 4.1 + m + 5 = 0 \Leftrightarrow 2 + 3m = 0 \Leftrightarrow m =  - \dfrac{2}{3}\) (thỏa mãn)

Phương trình mặt cầu cần tìm là \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=16.\)

Ta có : \(\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 3;\ 1;\ 1 \right),\ \ \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( 1;\ 2;\ 1 \right).\)

Gọi \(d\) là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right).\)

Ta có \(\left\{ \begin{align} & {{{\vec{u}}}_{d}}\bot {{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}} \\ & {{{\vec{u}}}_{d}}\bot {{{\vec{n}}}_{\left( Q \right)}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \,\,{{\vec{u}}_{d}}=\left[ {{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}};{{{\vec{n}}}_{\left( Q \right)}} \right]=\)\(\left( -\,1;-\,2;5 \right)\)

Xét hệ \(\left\{ \begin{align} & 3x+y+z-5=0 \\ & x+2y+z-4=0 \\ \end{align} \right.,\)

Chọn \(x = 0 \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
y + z = 5\\
2y + z = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
y = - \,1\\
z = 6
\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {0; - 1;6} \right) \in d.\)

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là \(d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=-\,1+2t \\ & z=6-5t \\ \end{align} \right..\)

Đường thẳng $d$ có phương trình chính tắc \(\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 2}}{1}\).

Thay các điểm ở mối đáp án vào phương trình trên ta thấy chỉ có đáp án D là cả hai điểm đều thỏa mãn phương trình.

Ta có: \(d//\left( P \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  \bot \overrightarrow n \\M \in d,M \notin \left( P \right)\end{array} \right.\)

Do đó nếu \(d//\left( P \right)\) thì \(\overrightarrow u  \bot \overrightarrow n  \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow n  = 0\).

$M$ thuộc trong mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$, giả sử \(M(0;m;n)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}MA = \sqrt {{{(0 - 0)}^2} + {{(m - 2)}^2} + {{(n + 1)}^2}}  = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + {{(n + 1)}^2}} \\MB = \sqrt {{{(0 - 2)}^2} + {{(m - 0)}^2} + {{(n - 1)}^2}}  = \sqrt {{m^2} + {{(n - 1)}^2} + 4} \end{array}\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}M{A^2} + M{B^2} = {(m - 2)^2} + {(n + 1)^2} + {m^2} + {(n - 1)^2} + 4\\ = 2{m^2} - 4m + 2{n^2} + 10 = 2({m^2} - 2m + 1) + 2{n^2} + 8\\ = 2{(m - 1)^2} + 2{n^2} + 8 \ge 8\end{array}\)

\( \Rightarrow \min \left( {M{A^2} + M{B^2}} \right) = 8 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\n = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n = 0\end{array} \right.\).

Vậy \(M(0;1;0)\)

Ta có: \(\overrightarrow{OA}=\left( -1;-2;0 \right)\)

\(\left( P \right)\) cách đều \(B,C\Leftrightarrow d\left( B;\left( P \right) \right)=d\left( C;\left( P \right) \right)\)

TH1: \(BC//\left( P \right)\)

\(\overrightarrow{BC}=\left( 0;4;-3 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{OA};\overrightarrow{BC} \right]=\left( 6;-3;-4 \right)\Rightarrow \left( P \right)\) đi qua O và nhận \(\overrightarrow{b}=\left( 6;-3;-4 \right)\) là 1 VTPT

\(\Rightarrow \left( P \right):\,\,6x-3y-4z=0\Leftrightarrow \left( P \right):\,\,-6x+3y+4z=0\)

TH2: \(I\in \left( P \right)\), với I là trung điểm của \(BC\).

\(\begin{align}I\left( 0;-2;-\frac{3}{2} \right)\Rightarrow \overrightarrow{OI}=\left( 0;-2;-\frac{3}{2} \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OI} \right]=\frac{1}{2}\left( 6;-3;4 \right) \\~\Rightarrow \left( P \right):\,\,6x-3y+4z=0 \\\end{align}\)

Do đó có hai mặt phẳng thỏa mãn là: $-6x+3y+4z=0$ và $6x-3y+4z=0$.

Dựa vào các đáp án ta chọn được đáp án B.

Vì \(H\) là trực tâm của \(\Delta \,ABC\)  và \(O.ABC\) là tứ diện vuông tại \(O\)

\(\Rightarrow \,\,OH\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) \(\Rightarrow \,\,d\left( O;\left( ABC \right) \right)=OH.\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) là \(\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{-\,3}=1\Leftrightarrow 6x+3y-2z-6=0.\)

Vậy \(OH=d\left( O;\left( ABC \right) \right)\)\(=\dfrac{\left| 6.0+3.0+2.0-6 \right|}{\sqrt{{{6}^{2}}+{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\dfrac{6}{7}.\)

Ta có \(\overrightarrow {{u_{{d_1}}}}  = (2,1, - 1)\)  và  \(\overrightarrow {{u_{{d_2}}}}  = (3,2,2)\)

Vì $d$ vuông góc với \({d_1}\)  và \({d_2}\)  nên có \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = \left( {4; - 7;1} \right)\)

Vì $d$ qua $A\left( {1,2,3} \right)$ nên có phương trình \(d:\dfrac{{x - 1}}{4} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 7}} = \dfrac{{z - 3}}{1}\)

Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left( {0;1; - 2} \right)$ và $\overrightarrow {BC}  = \left( {2; - 1;1} \right)$. Suy ra $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( { - 1; - 4; - 2} \right)$.

Khi đó \(d\left( {A,BC} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{{\sqrt 6 }} = \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}\).

Tâm $I$ thuộc mặt phẳng $\left( {xOy} \right):z = 0$  nên ta có $z = 0$ . Suy ra, giả sử $I\left( {x,y,0} \right)$.

Mặt cầu $\left( S \right)$  qua $A,B,C$ nên ta có \(IA = IB = IC = R\)

Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{B^2} = I{C^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(4)^2} = {(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {( - 1)^2}\\{(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {( - 1)^2} = {(x - 2)^2} + {(y - 2)^2} + {(3)^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4y + 4 + 16 = 6y + 9 + 1\\ - 2x + 1 + 6y + 9 + 1 =  - 4x + 4 - 4y + 4 + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 10y =  - 10\\2x + 10y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\).

 Vậy $I\left( { - 2,1,0} \right)$.

Có \(IA = \sqrt {26}  = R\) 

$(S)$ có tâm $I(–1;2;1)$ và $R = 1$.

Gọi $\overrightarrow v \left( {t;0;t} \right)$là vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow u \left( {1;0;1} \right)$ sao cho phép tịnh tiến vectơ đó biến $(S)$ thành $(S’)$ tiếp xúc với $(P)$

Phép tịnh tiến vectơ $\overrightarrow v \left( {t;0;t} \right)$ biến $I$ thành $I’ (–1 + t; 2; 1 + t)$

Suy ra $(S’)$ có tâm $I’$ và bán kính $R’ = R = 1$.

$(S’)$ tiếp xúc $(P)$ $ ⇔ d(I; (P)) = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - 1 + t - 2.2 + 2\left( {1 + t} \right) - 3} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 1 \Leftrightarrow \left| {3t - 6} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = 1\end{array} \right.$

Với $t = 3 \Rightarrow \overrightarrow v \left( {3;0;3} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow v } \right| = 3\sqrt 2 $

Với $t = 1 ⇒ \overrightarrow v \left( {1;0;1} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt 2 $

Vậy giá trị lớn nhất của $MN $ là $3\sqrt 2 $

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$  qua $A$ , vuông góc $\left( d \right)$ là:

$ - 1.\left( {x - 2} \right) + 1.\left( {y + 1} \right) + 2.\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow -x + y + 2z + 1 = 0$

Gọi \(I\left( {1 - t;2 + t; - 1 + 2t} \right) = d \cap \left( P \right)\), khi đó:

\( - \left( {1 - t} \right) + \left( {2 + t} \right) + 2\left( { - 1 + 2t} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow I\left( {1;2; - 1} \right)\)

Có $I{A^2} = 14$. Phương trình mặt cầu là:

 ${\left( {x-1} \right)^2} + {\left( {y-2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 14$

$M\left( {a;b;c} \right) \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow c = 0 \Rightarrow M\left( {a;b;0} \right)$

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow 3M{A^2} + 2M{B^2} = 3\left[ {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2} + 9} \right] + 2\left[ {{{\left( {a - 11} \right)}^2} + {{\left( {b + 5} \right)}^2} + {{12}^2}} \right]}\\{ = 3\left( {{a^2} - 2a + {b^2} + 10} \right) + 2\left( {{a^2} - 22a + {b^2} + 10b + 290} \right)}\\{ = 3{a^2} - 6a + 3{b^2} + 30 + 2{a^2} - 44a + 2{b^2} + 20b + 580}\\{ = 5{a^2} - 50a + 5{b^2} + 20b + 610}\\{ = 5\left( {{a^2} - 10a + {b^2} + 4b + 122} \right)}\\{ = 5\left[ {{{\left( {a - 5} \right)}^2} + {{\left( {b + 2} \right)}^2} + 93} \right] \ge 465}\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 5}\\{b = {\rm{\;}} - 2}\end{array}} \right. \Rightarrow P = a + b + c = 5 - 2 + 0 = 3$

Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( 1;1;-2 \right)\) và bán kính \(R=\sqrt{7}\).

Để mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất thì \(d\left( I;\left( P \right) \right)\) nhỏ nhất.

Ta có \(d\left( I;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 1+1-\left( -2 \right)-m \right|}{\sqrt{3}}=\frac{\left| 4-m \right|}{\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow d{{\left( I;\left( P \right) \right)}_{\min }}=0\Leftrightarrow m=4\)

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {1;1; - 1} \right)\).

Gọi \(B = \Delta  \cap d\), suy ra \(B \in d \Rightarrow B\left( {3 + t;3 + 3t;2t} \right)\).

Suy ra đường thẳng \(\Delta \) có VTCP \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2 + t;1 + 3t;1 + 2t} \right)\).

Vì \(\Delta \parallel \left( \alpha  \right)\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow n  = 0 \Leftrightarrow 2 + t + 1 + 3t - 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1\).

Do đó phương trình \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\).