Bán kính $R = d\left[ {I,Ox} \right] = \sqrt {y_I^2 + z_I^2}  = 5$.

Ta có $2\overrightarrow a  - \overrightarrow b  = \left( {5;2; - 3} \right)$. Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\), suy ra $\overrightarrow {AM}  = \left( {x;y - 2;z - 1} \right)$.

Theo giả thiết, suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y - 2 = 2\\z - 1 =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 4\\z =  - 2\end{array} \right.\).

Ta có:

\(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \dfrac{{ - 1.2 - 1.1 - 1.0}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {0^2}} }} \) 

$=  - \dfrac{3}{{\sqrt {15} }} =  - \dfrac{{3\sqrt {15} }}{{15}} =  - \dfrac{{\sqrt {15} }}{5}$

Hình chiếu của điểm \(M\left( {2;2; - 1} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là \(N\left( {0;2; - 1} \right)\).

Phương trình có dạng \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by \)\(+ 2cz + d = 0\) với \(a =  - 1,b = 2,c = 1,d =  - 3\).

Ta có công thức

\(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}  \)\(= \sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {1^2} - ( - 3)} \)\( = 3\) 

Phương trình đáp án B có dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) với \(a =  - 1,b = 2,c = 1\) và \(R = 3\) là phương trình mặt cầu.

Phương trình đáp án A có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a =  - 1,b =  - 1,c =  - 1,d =  - 8\)  có \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}  = \sqrt {11} \) là một phương trình mặt cầu.

Xét phương án C có

\(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 4x + 2y + 2z + 16 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + y + z + 8 = 0\).

Phương trình có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a = 1,b =  - \dfrac{1}{2},c =  - \dfrac{1}{2},d = 8\) có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - 8 < 0.\)

Không phải là phương trình mặt cầu.

$\vec n = 3\left( {2;3; - 5} \right) + 2\left( {0; - 3;4} \right) - \left( {1; - 2;3} \right) = \left( {5;5; - 10} \right)$

Ta có: \(\overrightarrow u  = k\overrightarrow v  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2k\\1 = 2k\\b = kc\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \dfrac{1}{2}\\a =  - 1\\b = \dfrac{1}{2}c\end{array} \right. \Rightarrow c = 2b\)

Gọi \(G'\left( {x;y;z} \right)\) là trọng tâm của tam giác \(A'B'C'\).

Ta có \(\overrightarrow {G'A'}  + \overrightarrow {G'B'}  + \overrightarrow {G'C'}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {G'A}  + \overrightarrow {AA'} } \right) + \left( {\overrightarrow {G'B}  + \overrightarrow {BB'} } \right) + \left( {\overrightarrow {G'C}  + \overrightarrow {CC'} } \right) = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {G'A}  + \overrightarrow {G'B}  + \overrightarrow {G'C}  = \overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {B'B}  + \overrightarrow {C'C}  = \overrightarrow 0 \).

Suy ra \(G'\) cũng là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên có tọa độ \(\left( {2;\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right).\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;0; - 4} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {4;0; - 3} \right),\) \(\overrightarrow {AD}  = \left( {2;3; - 3} \right)\) nên \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0; - 25;0} \right)\)

Diện tích tam giác ${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \dfrac{{25}}{2}$

Thể tích tứ diện \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \dfrac{{25}}{2}\).

Suy ra độ dài đường cao \(h = d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{ABCD}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = 3\).

Tâm $I$ thuộc mặt phẳng $\left( {xOy} \right):z = 0$  nên ta có $z = 0$ . Suy ra, giả sử $I\left( {x,y,0} \right)$.

Mặt cầu $\left( S \right)$  qua $A,B,C$ nên ta có \(IA = IB = IC = R\)

Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{B^2} = I{C^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(4)^2} = {(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {( - 1)^2}\\{(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {( - 1)^2} = {(x - 2)^2} + {(y - 2)^2} + {(3)^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4y + 4 + 16 = 6y + 9 + 1\\ - 2x + 1 + 6y + 9 + 1 =  - 4x + 4 - 4y + 4 + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 10y =  - 10\\2x + 10y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\).

 Vậy $I\left( { - 2,1,0} \right)$.

Có \(IA = \sqrt {26}  = R\) 

Giả sử tâm $I$ của mặt cầu $\left( S \right)$  thuộc $d$, ta có $I\left( {1 + 2t,2 - t,1 + t} \right)$. Vì mặt cầu $\left( S \right)$  qua $A$ và $B$ nên ta có $IA = IB = R$ .

Từ giả thiết $IA = IB$ ta có \(I{A^2} = I{B^2}\)

\( \Leftrightarrow {(2t - 1)^2} + {(t + 2)^2} + {(2 + t)^2} = {(1 + 2t)^2} + {(4 - t)^2} + {t^2}\)

\( \Leftrightarrow  - 4t + 4t + 4 + 4t + 4 = 4t - 8t + 16\)

\( \Leftrightarrow 8t = 8\)

\( \Leftrightarrow t = 1\)

Suy ra $I\left( {3,1,2} \right)$ . Do đó \(R = IA = \sqrt {9 + 9 + 1}  = \sqrt {19} \)

Do đó, đường kính mặt cầu là \(2R = 2\sqrt {19} \)