Ta có: \(\overrightarrow {OM}  = 2\vec i + \vec j \Rightarrow \overrightarrow {OM}  = 2.\vec i + 1.\vec j + 0.\overrightarrow k  \Leftrightarrow M\left( {2;1;0} \right)\)

Giả sử $M$ là giao điểm của $(d)$ và $(P)$. 

Lấy \(M \in (d) \Rightarrow M\left( {2t;1 - t;3 + t} \right)\)

Vì \(M \in (P) \Rightarrow 2t + 1 - t + 3 + t - 10 = 0 \Leftrightarrow 2t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 3\)

Suy ra ta có \(M\left( {6; - 2;6} \right)\), suy ra $d$ cắt $(P)$ tại $1$ điểm duy nhất. Do đó, loại đáp án A và B.

Mặt khác giả sử $d \bot (P) \Rightarrow \dfrac{2}{1} = \dfrac{1}{1} = \dfrac{{ - 1}}{1}$(vô lý). Do đó loại C

Ta xét mặt cầu $(S):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 2)^2} = 25$

$\Rightarrow I(1;2; - 2);R = 5$

Điểm $A(1;-3;0)$ thuộc $d$ nên $A \in (P)$ và $d(I;(P)) = 5$ nên thử các đáp án ta thấy C đúng.

Hai véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \left( { \ne \overrightarrow 0 } \right)\) được gọi là cặp véc tơ chỉ phương (VTCP) của \(\left( P \right)\) nếu giá của chúng nằm trong \(\left( P \right)\) hoặc song song với \(\left( P \right)\).

Gọi \(I\)  là tâm của hình bình hành $ABCD$. Suy ra \(I\) là trung điểm của $AC$. Ta có $I\left( {2, - 1,1} \right)$.

Phương trình $BI$ cũng chính là phương trình đường chéo $BD$.

+ Phương trình $BI$ nhận \(\overrightarrow {BI}  = (4, - 4,0)\) là vectơ chỉ phương

+ qua điểm $B\left( { - 2,3,1} \right)$ và cũng qua điểm $I\left( {2, - 1,1} \right)$.

Vì phương trình tham số ở câu D có vecto chỉ phương là \((1,1,0)\), đây không là vecto chỉ phương của $BI$.

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;0; - 2} \right)\), \(\overrightarrow {CD}  = \left( { - 2;m - 2;0} \right)\) và \(\overrightarrow {AC}  = \left( {2;2; - 2} \right)\).

Suy ra \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {2m - 4;4;m - 2} \right)\).

Do đó \(d\left[ {AB,CD} \right] = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right].\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right]} \right|}} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2\left( {2m - 4} \right) + 8 - 2\left( {m - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {2m - 4} \right)}^2} + {4^2} + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} }} = 2\)

\( \Leftrightarrow \left| {2m + 4} \right| = 2\sqrt {5{m^2} - 20m + 36}  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = 2\end{array} \right.\).

Phương trình đáp án B có dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) với \(a =  - 1,b = 2,c = 1\) và \(R = 3\) là phương trình mặt cầu.

Phương trình đáp án A có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a =  - 1,b =  - 1,c =  - 1,d =  - 8\)  có \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}  = \sqrt {11} \) là một phương trình mặt cầu.

Xét phương án C có

\(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 4x + 2y + 2z + 16 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + y + z + 8 = 0\).

Phương trình có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a = 1,b =  - \dfrac{1}{2},c =  - \dfrac{1}{2},d = 8\) có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - 8 < 0.\)

Không phải là phương trình mặt cầu.

Ta có: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3t\\z =  - 2 + t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( {1;0; - 2} \right)\\\overrightarrow u  = \left( {2;3;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 2}}{1}\)

Nhận thấy \((P):x - y + 3 = 0\) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 1;0} \right)\) làm véc tơ pháp tuyến nên các véc tơ \(\overrightarrow a  = \left( {3; - 3;0} \right),\overrightarrow a  = \left( { - 1;1;0} \right)\) cũng là các véc tơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\).

$\left( P \right)$ vuông góc với $d \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_P}} //\overrightarrow {{u_d}}  \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = k.\overrightarrow {{u_d}} $.

Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {4;1;0} \right)\) và trong các đáp án chỉ có đáp án D thỏa mãn $\overrightarrow {{n_P}} $ cùng phương $\overrightarrow {{u_d}} $.

Ta có: \(\overrightarrow a  = \left( {5;1;3} \right),\overrightarrow b  = \left( { - 1; - 3; - 5} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\ - 3\end{array}&\begin{array}{l}3\\ - 5\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}3\\ - 5\end{array}&\begin{array}{l}5\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}5\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l}1\\ - 3\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( {4;22; - 14} \right)\)

Do đó \(\overrightarrow n  = \left( {4;22; - 14} \right)\) là một VTPT của \(\left( P \right)\) nên \(\dfrac{1}{2}\overrightarrow n  = \left( {2;11; - 7} \right)\) cũng là một VTPT của \(\left( P \right)\).

Giả sử $M$ là giao điểm của $d$ với mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$.

Viết phương trình đường thẳng $d$ dưới dạng tham số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}&{}\\{y = 1 + 2t}&{}\\{z =  - 1 - t}&{}\end{array}} \right.\)

Ta có $M$ thuộc $d$ nên $M\left( {t,2t + 1, - t - 1} \right)$ .

Vì M thuộc $\left( {Oxy} \right):z = 0$ nên có $ - t - 1 = 0$  hay $t =  - 1$, suy ra $M\left( { - 1, - 1,0} \right)$.

Phương trình mặt cầu cần tìm có tâm $M\left( { - 1, - 1,0} \right)$, bán kính \(MA = \sqrt {{{(5 + 1)}^2} + {{(4 + 1)}^2} + {{( - 2 - 0)}^2}}  = \sqrt {65} \)

\(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow i  - 3\overrightarrow j  + \overrightarrow k  \Rightarrow M\left( {1; - 3;1} \right)\).

Bước 1: Gọi $(S’)$ là mặt cầu đối xứng với mặt cầu $(S)$ qua trục $Oz$.

$(S)$ có tâm \(I( - 1;1;2)\) và \(R = 2\)

Bước 2: Tìm $J$ là điểm đối xứng của tâm mặt cầu $(S)$ qua $Oz$.

Lấy đối xứng điểm $I$ qua trục $Oz$ ta được \(J(1; - 1;2)\).

Bước 3: Tìm mặt cầu $(S’)$ 

$(S’)$ có tâm $J$ và bán kính $R$ có phương trình là: \({(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4\)

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( { - 1;2; - 3} \right)$ và bán kính $R = 3$

Ta có : $M( - 1;2;0) \in \left( S \right)$

Gọi $\left( \alpha  \right)$  là mặt phẳng tiếp diện của $\left( S \right)$  tại $M$.

Khi đó $\left( \alpha  \right)$  đi qua $M$ và nhận $\overrightarrow {IM} \left( {0;0;3} \right)$ làm véctơ pháp tuyến

Vậy $\left( \alpha  \right):0(x + 1) + 0(y - 2) + 3(z - 0) = 0 \Leftrightarrow z = 0$

Có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2 - 1; - 1 - 2;3 + 1} \right) = \left( {1; - 3;4} \right)\) và \(\overrightarrow {DC}  = ( - 3 - {x_D};5 - {y_D};1 - {z_D})\).

ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 - {x_D} = 1\\5 - {y_D} =  - 3\\1 - {z_D} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} =  - 4\\{y_D} = 8\\{z_D} =  - 3\end{array} \right.\)

+) Ta có: 

\(AM\bot CB\) (vì M là trực tâm tam giác ABC)

\(OA\bot CB\) (vì \(OA\bot OB,\,\,OA\bot OC\Rightarrow OA\bot \left( OBC \right)\Leftrightarrow OA\bot BC\))

\(\Rightarrow BC\bot \left( OMA \right)\Rightarrow BC\bot OM\)

Tương tự, chứng minh được \(AC\bot OM\Rightarrow OM\bot \left( ABC \right)\)

+) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( ABC \right)\):

\(M\left( -1;3;4 \right),\,\,\overrightarrow{OM}\left( -1;3;4 \right)\)

Phương trình mặt phẳng (ABC): \(-1\left( x+1 \right)+3\left( y-3 \right)+4\left( z-4 \right)=0\Leftrightarrow -x+3y+4z-26=0\)

+)  Tìm tọa độ các điểm A, B, C:

Cho \(y=z=0\Rightarrow x=26\Rightarrow A\left( 26;0;0 \right)\)

Cho \(x=z=0\Rightarrow y=\frac{26}{3}\Rightarrow B\left( 0;\frac{26}{3};0 \right)\)

Cho \(x=y=0\Rightarrow z=\frac{13}{2}\Rightarrow C\left( 0;0;\frac{13}{2} \right)\)

Thể tích khối tứ diện OABC :  \(V=\frac{1}{6}.26.\frac{26}{3}.\frac{13}{2}=\frac{2197}{9}\).

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  = \left( {1; - 2;0} \right),\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;3;1} \right)\)

$ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 2\\3\end{array}&\begin{array}{l}0\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\1\end{array}&\begin{array}{l}1\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l} - 2\\3\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2; - 1;1} \right)$

Do đó \(OH = d\left( {O,AB} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {66} }}{{11}}\)

Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1;3;1} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( { - 3;2; - 2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(d\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right]\)

Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 3;1} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( { - 3;2; - 2} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {4; - 1; - 7} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\left( {1;3;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {4; - 1; - 7} \right)\) làm VTPT nên \(\left( Q \right):4\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 3} \right) - 7\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - y - 7z + 6 = 0\)

Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của \(\left( P \right),\left( Q \right)\).

Dễ thấy điểm \(\left( {0; - 1;1} \right)\) thuộc cả hai mặt phẳng và \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {2;1;1} \right)\)

Do đó \(d'\) đi qua \(A\left( {0; - 1;1} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_{d'}}}  = \left( {2;1;1} \right)\).

Tâm $I$ thuộc mặt phẳng $\left( {xOy} \right):z = 0$  nên ta có $z = 0$ . Suy ra, giả sử $I\left( {x,y,0} \right)$.

Mặt cầu $\left( S \right)$  qua $A,B,C$ nên ta có \(IA = IB = IC = R\)

Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{B^2} = I{C^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(4)^2} = {(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {( - 1)^2}\\{(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {( - 1)^2} = {(x - 2)^2} + {(y - 2)^2} + {(3)^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4y + 4 + 16 = 6y + 9 + 1\\ - 2x + 1 + 6y + 9 + 1 =  - 4x + 4 - 4y + 4 + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 10y =  - 10\\2x + 10y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\).

 Vậy $I\left( { - 2,1,0} \right)$.

Có \(IA = \sqrt {26}  = R\) 

$(S)$ có tâm $I(–1;2;1)$ và $R = 1$.

Gọi $\overrightarrow v \left( {t;0;t} \right)$là vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow u \left( {1;0;1} \right)$ sao cho phép tịnh tiến vectơ đó biến $(S)$ thành $(S’)$ tiếp xúc với $(P)$

Phép tịnh tiến vectơ $\overrightarrow v \left( {t;0;t} \right)$ biến $I$ thành $I’ (–1 + t; 2; 1 + t)$

Suy ra $(S’)$ có tâm $I’$ và bán kính $R’ = R = 1$.

$(S’)$ tiếp xúc $(P)$ $ ⇔ d(I; (P)) = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - 1 + t - 2.2 + 2\left( {1 + t} \right) - 3} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 1 \Leftrightarrow \left| {3t - 6} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = 1\end{array} \right.$

Với $t = 3 \Rightarrow \overrightarrow v \left( {3;0;3} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow v } \right| = 3\sqrt 2 $

Với $t = 1 ⇒ \overrightarrow v \left( {1;0;1} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt 2 $

Vậy giá trị lớn nhất của $MN $ là $3\sqrt 2 $

Lấy ${\rm{A}} \in {\rm{d}} \Rightarrow {\rm{A}}\left( {2a;a;4} \right)$ và \(B \in d' \Rightarrow B\left( {b;3 - b;0} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {b - 2a;3 - a - b; - 4} \right)\)

$AB$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $d$ và $d’$ khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_{d'}}}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.\left( {b - 2a} \right) + 1.\left( {3 - a - b} \right) + 0.\left( { - 4} \right) = 0\\1.\left( {b - 2a} \right) - 1.\left( {3 - a - b} \right) + 0.\left( { - 4} \right) = 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5a + b + 3 = 0\\ - a + 2b - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.\)

Suy ra ${\rm{A}}\left( {2;1;4} \right)$, \(B\left( {2;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow {AB}  = \left( {0;0; - 4} \right)\)

Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng $d$ và $d'$

Có tâm $I$ là trung điểm của $AB$ và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2}\).

Ta có \(I\left( {2;1;2} \right)\) và \(R = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{4}{2} = 2\)

 Vậy ta có \({(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4\)

Gọi \(A\left( {a;0;0} \right);\,\,B\left( {0;b;0} \right);\,\,C\left( {0;0;c} \right)\), khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)

\(M\left( {1;2;3} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\begin{array}{l}1 = {\left( {\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c}} \right)^2} \le \left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right)\left( {{1^2} + {2^2} + {3^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge \frac{1}{{14}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} \ge \frac{1}{{14}} \Rightarrow {T_{\min }} = \frac{1}{{14}}\end{array}\)

Dấu = xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{a} = \frac{1}{{2b}} = \frac{1}{{3c}}\\\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{a}{2}\\c = \frac{a}{3}\\\frac{1}{a} + \frac{4}{a} + \frac{9}{a} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 14\\b = 7\\c = \frac{{14}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):\,\,\frac{x}{{14}} + \frac{y}{7} + \frac{{3z}}{{14}} = 1 \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 14 = 0\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;2;0} \right)\).

Gọi \(d\) là đường thẳng cần tìm. Ta có \(d \cap Ox = B\left( {b;0;0} \right)\).

Suy ra \(d\) có VTCP \(\overrightarrow {AB}  = \left( {b + 1; - 3;4} \right)\).

Do \(d\parallel \left( P \right)\) nên \(\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {{n_P}}  \Rightarrow \left( {b + 1} \right).1 + \left( { - 3} \right).2 + 4.0 = 0 \Leftrightarrow b = 5 \Rightarrow B\left( {5;0;0} \right).\)

Đường thẳng cần tìm đi qua hai điểm \(A,{\rm{ }}B\) nên có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 6t\\y =  - 3t\\z = 4t\end{array} \right.\).

$(S)$ có tâm $I(5;-3;7)$ và bán kính $R= 6\sqrt 2 $

Theo đề bài ta có phương trình $(P)$ có dạng $x+m(y-8)+n(z-2)=0$

Vì $(P)$ tiếp xúc với $(S) $ nên ${\rm{d}}(I,(P)) = \dfrac{{\left| {5 + m( - 3 - 8) + n(7 - 2)} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = \dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = 6\sqrt 2 $

                                                      $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {5 - 11m + 5n} \right| = 6\sqrt 2 .\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} \\ \Leftrightarrow 25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn = 72(1 + {m^2} + {n^2})\\ \Leftrightarrow 49{m^2} - 110m + 50n - 110mn - 47{n^2} - 47 = 0\\ \Leftrightarrow 49{m^2} - 110m(n + 1) - 47{n^2} + 50n - 47 = 0(1)\\\Delta ' = 3025{(n + 1)^2} - 49( - 47{n^2} + 50n - 47) = 5328{n^2} + 3600n + 5328 > 0\end{array}$

Phương trình (*) luôn có  nghiệm

$\begin{array}{l}{\rm{d}}(B,(P)) = \dfrac{{\left| {1 + m(1 - 8) + n( - 9 - 2)} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }}\\ =  > d(B,(P))\max  = AB \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = 3\sqrt {19}  \Leftrightarrow \sqrt {1 + {m^2} + {n^2}}  = \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{3\sqrt {19} }}\end{array}$

Mặt khác $\dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{6\sqrt 2 }} = \sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} $

$\dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{3\sqrt {19} }}$=$\dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{6\sqrt 2 }}$

      $\begin{array}{l}72(1 + 49{m^2} + 121{n^2} - 14m - 22n + 154mn) = 171(25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn)\\ \Leftrightarrow 8(1 + 49{m^2} + 121{n^2} - 14m - 22n + 154mn) = 19(25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn)\\ \Leftrightarrow  - 1907{m^2} + 493{n^2} + 1978m - 1126n + 3322mn - 467 = 0(2)\end{array}$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow m.n= \dfrac{{276}}{{49}}$