Đề kiểm tra 15 phút chương 3: Nguyên hàm

Đề kiểm tra chương 3: Nguyên hàm - Tích phân - Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút chương 3: Nguyên hàm - Đề số 1

Hocon247
12 câu hỏi
45 phút
481 lượt thi
Trung bình

Tham gia [ Hs Hocon247.com ] - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến để được học tập những kiến thức bổ ích từ HocOn247.com

Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ . Với $C \ne 0$ là một hằng số bất kì, hàm nào sau đây cũng là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ ?

$C.F\left( x \right)$

$C - F\left( x \right)$

$C + F\left( x \right)$

$\dfrac{{F\left( x \right)}}{C}$

Xem đáp án

Đáp án đúng: c

Nếu $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ thì $F\left( x \right) + C$ hay $F\left( x \right) - C$ cũng là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ ( $C \ne 0$ là một hằng số).

Hướng dẫn giải:

Giải thích thêm:

Các đáp án A, B, D đều sai vì:

Đáp án A: $C.F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm $C.f\left( x \right)$ .

Đáp án B: $C - F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm số $- f\left( x \right)$ .

Đáp án D: $\dfrac{{F\left( x \right)}}{C}$ là nguyên hàm của hàm số $\dfrac{{f\left( x \right)}}{C}$ .

Câu 2: Trắc nghiệm ID: 146110

Tích phân $\int\limits_{1}^{2}{{{(x+3)}^{2}}dx}$ bằng

$\frac{61}{9}$

$4.$

$61.$

$\frac{61}{3}$ .

Xem đáp án

Đáp án đúng: d

$\int\limits_{1}^{2}{{{(x+3)}^{2}}dx}=\frac{1}{3}\left. {{(x+3)}^{3}} \right|_{1}^{2}=\frac{1}{3}\left( {{5}^{3}}-{{4}^{3}} \right)=\frac{61}{3}$

Hướng dẫn giải:

Sử dụng công thức $\int {{{\left( {ax + b} \right)}^n}dx} = \dfrac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}{{a\left( {n + 1} \right)}} + C$

Câu 3: Trắc nghiệm ID: 146111

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2}ln\left( {3x} \right)$

$\int {f(x)dx = {x^3}\ln 3x - \dfrac{{{x^3}}}{3} + C}$

$\int {f(x)dx = \dfrac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \dfrac{{{x^3}}}{9} + C}$

$\int {f(x)dx = \dfrac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \dfrac{{{x^3}}}{3} + C}$

$\int {f(x)dx = \dfrac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \dfrac{{{x^3}}}{{27}} + C}$

Xem đáp án

Đáp án đúng: b

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln 3x\\dv = {x^2}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{3}{{3x}}dx\\v = \dfrac{1}{3}{x^3}\end{array} \right.$

$\Rightarrow I = \dfrac{1}{3}{x^3}\ln 3x - \int {\dfrac{1}{3}{x^3}.\dfrac{3}{{3x}}dx} = \dfrac{1}{3}{x^3}\ln 3x - \int {\dfrac{1}{3}{x^2}dx} = \dfrac{1}{3}{x^3}\ln 3x - \dfrac{1}{9}{x^3} + C$

Hướng dẫn giải:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần cho hàm logarit:

- Bước 1: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {ax + b} \right)\\dv = f\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{a}{{\left( {ax + b} \right)}}dx\\v = \int {f\left( x \right)dx} \end{array} \right.$

- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức $\int {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx} = uv - \int {vdu}$

Giải thích thêm:

Một số em sẽ tính nhầm $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln 3x\\dv = {x^2}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{{3x}}dx\\v = \dfrac{1}{3}{x^3}\end{array} \right.$ dẫn đến chọn nhầm đáp án D là sai.

Câu 4: Trắc nghiệm ID: 146112

Cho $I=\int{{{x}^{3}}\sqrt{{{x}^{2}}+5}dx}$ , đặt $u=\sqrt{{{x}^{2}}+5}$ khi đó viết $I$ theo $u$ và $du$ ta được:

$\int{\left( {{u}^{4}}+5{{u}^{3}} \right)du}$

$\int{\left( {{u}^{4}}-5{{u}^{3}} \right)du}$

$\int{{{u}^{2}}du}$

$\int{\left( {{u}^{4}}-5{{u}^{2}} \right)du}$

Xem đáp án

Đáp án đúng: d

Ta có: $\sqrt{{{x}^{2}}+5}=u\Rightarrow {{u}^{2}}={{x}^{2}}+5\Rightarrow 2udu=2xdx\Rightarrow {{x}^{3}}dx={{x}^{2}}.xdx=\left( {{u}^{2}}-5 \right).udu$

Khi đó:

$I=\int{\left( {{u}^{2}}-5 \right).u.udu}=\int{\left( {{u}^{4}}-5{{u}^{2}} \right)du}$

Hướng dẫn giải:

- Tính ${{u}^{2}}={{x}^{2}}+5\Rightarrow du=dx$ và thay vào $I$ .

Giải thích thêm:

HS cần chú ý tính $x$ theo $u$ ; tính vi phân $dx$ theo $du$ để thay vào tính $I$ .

Câu 5: Trắc nghiệm ID: 146113

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $R$ và $\int\limits_{ - 2}^4 {f\left( x \right)} dx{\rm{ = 2}}$ . Mệnh đề nào sau đây là sai?

$\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( {2x} \right)} d{\rm{x = 2}}$

$\int\limits_{ - 3}^3 {f\left( {x + 1} \right)} d{\rm{x = 2}}$

$\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( {2x} \right)} d{\rm{x = 1}}$

$\int\limits_0^6 {\dfrac{1}{2}f\left( {x - 2} \right)} d{\rm{x = 1}}$

Xem đáp án

Đáp án đúng: a

Dựa vào các đáp án, xét:

$\int\limits_{ - 1}^2 {f(2x)dx}$ $= \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^2 {f(2x)d(2x)}$ $= \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 2}^4 {f(x)dx }$ $= 1$

$\begin{array}{l}\int\limits_{ - 3}^3 {f(x + 1)dx} = \int\limits_{ - 3}^3 {f(x + 1)d(x + 1)} \\ = \int\limits_{ - 2}^4 {f(x)dx = 2} \end{array}$

$\int\limits_0^6 {\dfrac{1}{2}f(x - 2)dx} = \int\limits_0^6 {\dfrac{1}{2}f(x - 2)d(x - 2)}$ $= \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 2}^4 {f(x)dx = 1}$

Do đó các đáp án B, C, D đều đúng, đáp án A sai.

Hướng dẫn giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến số để tích tích phân ở các đáp án.

Câu 6: Trắc nghiệm ID: 146114

Tính $I = \int {\cos \sqrt x dx}$ ta được:

$2\left( {\sqrt x \sin \sqrt x - \cos \sqrt x } \right) + C$

$2\left( {\sqrt x \sin \sqrt x + \cos \sqrt x } \right) + C$

$\sqrt x \sin \sqrt x + \cos \sqrt x + C$

$\sqrt x \sin \sqrt x - \cos \sqrt x + C$

Xem đáp án

Đáp án đúng: b

Đặt $\sqrt x = t \Rightarrow x = {t^2} \Rightarrow dx = 2tdt \Rightarrow I = 2\int {t\cos tdt} .$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = t\\dv = \cos tdt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dt\\v = \sin t\end{array} \right.$

$\Rightarrow I = 2\left( {t\sin t - \int {{\mathop{\rm sint}\nolimits} dt} + C} \right) = 2\left( {t\sin t + \cos t + C} \right)$

$= 2\left( {\sqrt x \sin \sqrt x + \cos \sqrt x } \right) + C.$

Hướng dẫn giải:

Trước hết ta nên đặt $t = \sqrt x$ để đưa nguyên hàm về dạng đơn giản hơn, sau đó áp dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.

Giải thích thêm:

Khi có hàm đa thức và hàm lượng giác, ta ưu tiên đặt u là hàm đa thức.

Câu 7: Trắc nghiệm ID: 146115

Nếu đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2} \right)\\{\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x\end{array} \right.$ thì tích phân $I = \int\limits_0^1 {x.\ln \left( {x + 2} \right){\rm{d}}x}$ trở thành

$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$

$I = \left. {{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$

$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$

$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{4}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng: a

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2} \right)\\{\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \dfrac{{{\rm{d}}x}}{{x + 2}}\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.,$ khi đó $I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$

Hướng dẫn giải:

Sử dụng công thức của tích phân từng phần: $\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu}$ .

Câu 8: Trắc nghiệm ID: 146116

Cho $I = \int\limits_0^1 {\left( {2x - {m^2}} \right)dx}$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương m để $I + 3 \ge 0$ ?

$4$

$0$

$5$

$2$

Xem đáp án

Đáp án đúng: d

$\begin{array}{l}{\rm{\;}}I = \int\limits_0^1 {\left( {2x - {m^2}} \right)dx} = \left. {\left( {{x^2} - {m^2}x} \right)} \right|_0^1 = 1 - {m^2}\\{\rm{ \;}}I + 3 \ge 0 \Leftrightarrow 1 - {m^2} + 3 \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} \le 4 \Leftrightarrow m \in \left[ { - 2;2} \right]\end{array}$

$m$ là số nguyên dương $\Rightarrow m \in \left\{ {1;2} \right\}$ .

Hướng dẫn giải:

Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản tính tích phân theo $m$ rồi thay vào điều kiện bài cho tìm $m$ .

Giải thích thêm:

Một số em có thể sẽ không đọc kí yêu cầu bài toán mà chọn ngay đáp án C vì nghĩ $m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}$ là sai.

Câu 9: Trắc nghiệm ID: 146117

Biết $F\left( x \right) = \left( {ax + b} \right).{e^x}$ là nguyên hàm của hàm số $y = \left( {2x + 3} \right).{e^x}$ . Khi đó $b - a$ là

$- 1$

$3$

$1$

$2$

Xem đáp án

Đáp án đúng: a

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = 2x + 3\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2dx\\v = {e^x}\end{array} \right.$ . $\Rightarrow \int {(2x + 3){e^x}dx} = (2x + 3){e^x} - \int {{e^x}2dx = } (2x + 3){e^x} - 2{e^x} = (2x + 1){e^x}$

Khi đó $a = 2,b = 1$

Hướng dẫn giải:

Sử dụng phương pháp nguyên hàm nguyên hàm từng phần cho dạng bài hàm số mũ:

- Bước 1: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = {e^{ax + b}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}{e^{ax + b}}\end{array} \right.$

- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức $\int {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx} = uv - \int {vdu}$

Giải thích thêm:

Một số em khi tính được $a = 2,b = 1$ thì vội vàng kết luận đáp án C là sai.

Câu 10: Trắc nghiệm ID: 146118

Cho $A = \int {{x^5}\sqrt {1 + {x^2}} dx = a} {t^7} + b{t^5} + c{t^3} + C$ , với $t = \sqrt {1 + {x^2}}$ . Tính $A = a - b - c$

$\dfrac{{12}}{{79}}$

$\dfrac{{95}}{{103}}$

$\dfrac{{22}}{{105}}$

$\dfrac{{48}}{{109}}$

Xem đáp án

Đáp án đúng: c

Đặt $t = \sqrt {{x^2} + 1} \Leftrightarrow {x^2} = {t^2} - 1 \Rightarrow xdx = tdt$

$A = \int {{{\left( {{t^2} - 1} \right)}^2}{t^2}dt} = \int {\left( {{t^6} - 2{t^4} + {t^2}} \right)dt}$ $= \dfrac{{{t^7}}}{7} - \dfrac{2}{5}{t^5} + \dfrac{{{t^3}}}{3} + C$ $\Rightarrow a = \dfrac{1}{7};b = - \dfrac{2}{5};c = \dfrac{1}{3}$ $\Rightarrow a - b - c = \dfrac{{22}}{{105}}$

Hướng dẫn giải:

- Đặt $t = \sqrt {{x^2} + 1}$

- Tính $dx$ theo $dt$ và tìm nguyên hàm.

Câu 11: Trắc nghiệm ID: 146119

Tích phân $\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-x}}}\,\text{d}x$ bằng

$e-1.$

$\frac{1}{e}-1.$

$\frac{e-1}{e}.$

$\frac{1}{e}.$

Xem đáp án

Đáp án đúng: c

Ta có $\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-x}}}\,\text{d}x=\left. -\,{{e}^{-\,x}} \right|_{0}^{1}=-\,{{e}^{-\,1}}-\left( -\,{{e}^{0}} \right)=-\frac{1}{e}+1=\frac{e-1}{e}.$

Hướng dẫn giải:

Bấm máy hoặc sử dụng công thức nguyên hàm hàm số mũ để tính tích phân.

Câu 12: Trắc nghiệm ID: 146120

Biết rằng $F\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {e^{2x}}\cos 3x$ , trong đó a, b, c là các hằng số. Giá trị của tổng $S = a + b$ thỏa mãn:

$S < 0$

$- 1 < S < - \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1}{3} < S < \dfrac{1}{2}$

$S > 1$

Xem đáp án

Đáp án đúng: c

Đặt $F\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right) + c$ .

Ta có

$F'\left( x \right) = 2a{e^{2x}}\cos 3x - 3a{e^{2x}}\sin 3x + 2b{e^{2x}}\sin 3x + 3b{e^{2x}}\cos 3x$ $= \left( {2a + 3b} \right){e^{2x}}\cos 3x + \left( {2b - 3a} \right){e^{2x}}\sin 3x$

Để $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {e^{2x}}\cos 3x$ , điều kiện là

$F'\left( x \right) = {e^{2x}}\cos 3x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = 1\\2b - 3a = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{{13}}\\b = \dfrac{3}{{13}}\end{array} \right. \Rightarrow a + b = \dfrac{5}{{13}}$

Do đó $\dfrac{1}{3} < S < \dfrac{1}{2}$ .

Hướng dẫn giải:

Đối với bài toán này ta có thể tính đạo hàm rồi đồng nhất hệ số tìm $a,b,c$ .

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Đề thi liên quan

📝 Đề thi liên quan

Xem thêm »

Đề kiểm tra chương 7: Phương pháp tọa độ trong không gian - Toán 12 (có lời giải chi tiết)

6 đề 600 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra chương 4: Số phức - Toán 12 (có lời giải chi tiết)

6 đề 544 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra chương 5: Khối đa diện và Thể tích - Toán 12 (có lời giải chi tiết)

6 đề 513 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra chương 1: Hàm số - Toán 12 (có lời giải chi tiết)

6 đề 576 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra học kì 1 môn Toán - Lớp 12 (có lời giải chi tiết)

5 đề 497 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra học kì 2 môn Toán - Lớp 12 (có lời giải chi tiết)

5 đề 575 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra chương 3: Nguyên hàm - Tích phân - Toán 12 (có lời giải chi tiết)

6 đề 561 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra chương 2: Hàm số lũy thừa, mũ, logarit - Toán 12 (có lời giải chi tiết)

6 đề 527 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra giữa học kì 1 môn Toán - Lớp 12 (có lời giải chi tiết)

5 đề 445 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra chương 6: Mặt nón, Mặt trụ, Mặt cầu - Toán 12 (có lời giải chi tiết)

6 đề 454 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

ÔN LÝ THUYẾT NGAY

❓ Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »

Lịch sử và Địa lý 6 - KNTT

Ngữ văn 6 - KNTT

Tiếng anh 6 - Sách RIGHT ON

Tiếng Anh 6 - Sách I-LEARN SMART WORLD

Toán 6 - KNTT

Khoa học tự nhiên 6 - CD

Lịch sử và Địa lý 6 - CTST

Khoa học tự nhiên 6 - CTST

Tiếng anh 6 - KNTT

Tiếng anh 6 - CTST

Ngữ văn 6 - CTST

Toán 6 - CTST

Lịch sử và Địa lý 6 - CD

Ngữ Văn 6 - Cánh diều

Toán 6 - Cánh diều

Khoa học tự nhiên 6 - KNTT

Tiếng anh 6 - Sách ENGLISH DISCOVERY

Tiếng anh 12

GDCD 12

Sinh học 12

Địa lý 12

Lịch sử 12

Tiếng anh 12 (mới)

Hóa học 12

Vật lý 12

Ngữ Văn 12

Toán 12

Toán 11

Tiếng anh 11

GDCD 11

Sinh học 11

Địa lý 11

Lịch sử 11

Hóa học 11

Vật lý 11

Ngữ Văn 11

Ngữ Văn 10

Toán 10

Vật lý 10

Hóa học 10

Tiếng anh 10

Môn GDCD 10

Sinh học 10

Địa lý 10

Lịch sử 10

Tiếng anh 8

Lịch sử 8

Sinh học 8

Địa lý 8

Hoá học 8

Vật lý 8

Ngữ văn 8

Toán 8

Lịch sử 9

Tiếng anh 9

Sinh học 9

Địa lý 9

Hóa học 9

Vật lý 9

Ngữ Văn 9

Toán 9

Tiếng Anh 7

Sinh học 7

Địa lý 7

Lịch sử 7

Vật lý 7

Ngữ Văn 7

Toán 7

Tiếng việt 1 - CTST

Tiếng việt 1 - KNTT

Tiếng việt 1 - Cánh diều

Toán 1

Tiếng việt 1

Toán 3

Tiếng việt 3

Tiếng Việt 5

Toán 5

Tiếng việt 4

Toán 4

Lượng tử ánh sáng