Trong không gian với hệ tọa độ  $Oxyz$, cho các điểm  $A\left( {1,2, - 4} \right);{\rm{ }}B\left( {1, - 3,1} \right){\rm{ }} và {\rm{ }}C\left( {2,2,3} \right)$. Mặt cầu $(S) $ đi qua  $A,B,C$ và có tâm thuộc mặt phẳng $(xOy) $ có bán kính là :

Đáp án đúng: b

Tâm $I$ thuộc mặt phẳng $\left( {xOy} \right):z = 0$  nên ta có $z = 0$ . Suy ra, giả sử $I\left( {x,y,0} \right)$.

Mặt cầu $\left( S \right)$  qua $A,B,C$ nên ta có \(IA = IB = IC = R\)

Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{B^2} = I{C^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(4)^2} = {(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {( - 1)^2}\\{(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {( - 1)^2} = {(x - 2)^2} + {(y - 2)^2} + {(3)^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4y + 4 + 16 = 6y + 9 + 1\\ - 2x + 1 + 6y + 9 + 1 =  - 4x + 4 - 4y + 4 + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 10y =  - 10\\2x + 10y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\).

 Vậy $I\left( { - 2,1,0} \right)$.

Có \(IA = \sqrt {26}  = R\) 

Hướng dẫn giải:

- Gọi tọa độ tâm \(I\) thỏa mãn phương trình mặt phẳng.

- Mặt cầu tâm \(I\) đi qua \(3\) điểm nếu \(IA = IB = IC\), từ đó tìm \(I\) và suy ra phương trình mặt cầu.

Giải thích thêm:

Cách 2: Tâm I của (S) là giao của các mặt phẳng trung trực của AB, AC và mặt phẳng xOy.

(Vì mặt phẳng trung trực của AB là tập hợp tất cả các điểm cách đều A và B, mặt phẳng trung trực của AC là tập hợp tất cả các điểm cách đều A và C. Giao tuyến của hai mặt phẳng này cách đều 3 điểm A, B, C. Mà I cũng cách đều A, B, C nên I là giao điểm của hai mặt phẳng này và xOy).

Mặt phẳng trung trực của AB là: \(y-z-1=0\)

Mặt phẳng trung trực của AC là: \(x+7z+2=0\)

Tâm \(I(-2;1;0)\). Vậy \(R=IA=\sqrt{26}\)