Căn bậc hai của số \(a =  - 3\) là \(i\sqrt 3 \) và \( - i\sqrt 3 \).

Vì $z = 1 + 2i$ là nghiệm của phương trình nên:

         ${\left( {1 + 2i} \right)^2} + a\left( {1 + 2i} \right) + b = 0$               

         $\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + 4i + 4{i^2} + a + 2ai + b = 0\\ \Leftrightarrow (2a + 4)i + a + b - 3 = 0\end{array}$

        $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 4 = 0\\a + b - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 5\end{array} \right.\; \Rightarrow a + b =  - 2 + 5 = 3$

Ta có \(\left| z \right| = \left| {\overline z } \right|\) nên B đúng.

Ta có $z = 5 - 3i \Rightarrow \bar z = 5 + 3i.$

Vậy $\dfrac{1}{{2i}}\left( {z - \bar z} \right) = \dfrac{1}{{2i}}\left[ {\left( {5 - 3i} \right) - \left( {5 + 3i} \right)} \right] = \dfrac{1}{{2i}}\left( { - 6i} \right) =  - 3 =  - 3 + 0i.$

Ta có ${z_1} - {z_2} =  - 1 + 4i \Rightarrow \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \sqrt {17} $.

Phương trình: \({z^2} + (1 - i)z - 18 + 13i = 0\)

Có: \(\Delta  = {\left( {1 - i} \right)^2} - 4( - 18 + 13i) = 1 - 2i + {i^2} + 72 - 52i\)

\( = 72 - 54i = 81 - 2.9.3i + 9{i^2} = {\left( {9 - 3i} \right)^2}\)

\( \Rightarrow \delta  = 9 - 3i\) là một căn bậc hai của \(\Delta \).

 \( \Rightarrow \) Phương trình có \(2\)  nghiệm là: \({z_1} = \dfrac{{ - 1 + i + 9 - 3i}}{2} = 4 - i;\) \({z_2} = \dfrac{{ - 1 + i - 9 + 3i}}{2} =  - 5 + 2i\)

\(\Delta \) đi qua hai điểm \(\left( {1;0} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\) nên có phương trình $\Delta :x + y - 1 = 0$.

Khi đó ${\left| z \right|_{\min }} = d\left[ {O,\Delta } \right] = \dfrac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}.$

$z = i - 2 =  - 2 + i$ nên điểm biểu diễn là $M\left( { - 2;1} \right)$ 

Từ $z = 3 + 2i$, suy ra $\bar z = 3 - 2i$.

Vậy phần thực bằng \(3\) và phần ảo bằng \( - 2\).

Ta có: \(\left| {\left| {{z_1}} \right| - \left| {{z_2}} \right|} \right| \le \left| {{z_1} \pm {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\) nên A đúng.

Số phức \(z = 3 + 2i\) có điểm biểu diễn là \(A\) suy ra \(A\left( {3;2} \right)\).

Số phức \(z' = 2 + 3i\) có điểm biểu diễn là \(B\) suy ra \(B\left( {2;3} \right)\).

Ta thấy \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} = {y_B}\\{y_A} = {x_B}\end{array} \right.\) nên hai điểm \(A\) và \(B\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(y = x\).

\(\left( {2 - i} \right)z = 7 - i \Rightarrow z = \dfrac{{7 - i}}{{2 - i}} = \dfrac{{(7 - i)(2 + i)}}{5} = \dfrac{{15 + 5i}}{5} = 3 + i\)

Suy ra điểm có tọa độ $\left( {3;1} \right)$ sẽ biểu diễn số phức $z$, suy ra $M$ thỏa mãn.

Ta có $\left( {x + y} \right) + \left( {x - y} \right)i = 5 + 3i \Leftrightarrow \left( {x + y - 5} \right) + \left( {x - y - 3} \right)i = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y - 5 = 0\\x - y - 3 = 0\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow S = x + y = 4 + 1 = 5.$

Ta có $i.{z_2} = i\left( {4 - 3i} \right) = 4i - 3{i^2} = 3 + 4i = {z_1} \Rightarrow {z_1} = i.{z_2}$.

Ta có \({z^2} + 2z + 10 = 0 \Leftrightarrow {\left( {z + 1} \right)^2} = {\left( {3i} \right)^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z =  - 1 + 3i = {z_1}\\z =  - 1 - 3i = {z_2}\end{array} \right..\)

Suy ra \(P = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = {\left( {\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} } \right)^2} = 10 + 10 = 20\).

Đặt $z = x + yi{\rm{ }}\left( {x;{\rm{ }}y \in \mathbb{R}} \right)$, suy ra $iz = i\left( {x + yi} \right) =  - y + xi$ $ \Rightarrow \overline {iz}  =  - y - xi$

Theo giả thiết, ta có $x + yi + 2 - 4i = \left( {2 - i} \right)\left( { - y - xi} \right)$

$ \Leftrightarrow x + 2 + \left( {y - 4} \right)i = \left( { - 2y - x} \right) + \left( {y - 2x} \right)i$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 =  - 2y - x\\y - 4 = y - 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow z = 2 - 3i$

Khi đó $w = {z^3} - i = {\left( {2 - 3i} \right)^3} - i =  - 46 - 10i$.

Dễ thấy tổng trên là tổng của cấp số nhân có $2019$ số hạng, trong đó số hạng đầu tiên ${u_1} = 1$, công bội $q = 1 + i$.

Do đó $w = {u_1}.\dfrac{{1 - {q^{2019}}}}{{1 - q}} = 1.\dfrac{{1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{2019}}}}{{1 - \left( {1 + i} \right)}} $ $= \dfrac{{1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{2019}}}}{{ - i}}$

Ta có ${\left( {1 + i} \right)^2} = 1 + 2i + {i^2} = 2i$.

Suy ra \({\left( {1 + i} \right)^{2019}} = {\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^2}} \right]^{1009}}.\left( {1 + i} \right) = {\left( {2i} \right)^{1009}}\left( {1 + i} \right)\) \( = {2^{1009}}.{i^{1009}}.\left( {1 + i} \right)\) \(= {2^{1009}}.i.\left( {1 + i} \right) = {2^{1009}}.\left( { - 1 + i} \right)\)

Vậy $w = \dfrac{{1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{2019}}}}{{ - i}} = \dfrac{{1 - {2^{1009}}.\left( { - 1 + i} \right)}}{{ - i}} = \dfrac{{i.\left[ {1 - {2^{1009}}.\left( { - 1 + i} \right)} \right]}}{1} = {2^{1009}} + \left( {{2^{1009}} + 1} \right)i$

Phương trình: $z + \dfrac{1}{z} =  - 1 \Leftrightarrow {z^2} + z + 1 = 0$

Ta có: ${z_1} + {z_2} =  - 1;{z_1}.{z_2} = 1$

Khi đó $P = {z_1}^3 + {z_2}^3 = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left( {{z_1}^2 - {z_1}{z_2} + {z_2}^2} \right) = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left[ {{{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}^2} - 3{z_1}{z_2}} \right] =  - 1.(1 - 3) = 2$

Phương trình $6{z^4} + 19{z^2} + 15 = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {2{z^2} + 3} \right)\left( {3{z^2} + 5} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{z^2} =  - \,3\\3{z^2} =  - \,5\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} =  - \dfrac{3}{2}\\{z^2} =  - \dfrac{5}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = \dfrac{{3{i^2}}}{2}\\{z^2} = \dfrac{{5{i^2}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z =  \pm \,\dfrac{{i\sqrt 6 }}{2}\\z =  \pm \,\dfrac{{i\sqrt {15} }}{3}\end{array} \right.$ $ \Rightarrow T = \dfrac{2}{{i\sqrt 6 }} - \dfrac{2}{{i\sqrt 6 }} + \dfrac{3}{{i\sqrt {15} }} - \dfrac{3}{{i\sqrt {15} }} = 0$

Gọi ${z_1} = m.i{\rm{ }}\left( {m \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}z_1^2 = {\left( {m.i} \right)^2} = {m^2}.{i^2} =  - {m^2}\\\left| {{z_1}} \right| = \sqrt {{0^2} + {m^2}}  = \left| m \right| \Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} = {m^2}\end{array} \right..$

Khi đó $z = z_1^2 + {\left| {{z_1}} \right|^2} =  - {m^2} + {m^2} = 0$.

Từ giả thiết, ta có \(OA = 3,{\rm{ }}OB = 4\) và \(AB = 5\).

Ta có \(O{A^2} + O{B^2} = A{B^2}\) \( \Rightarrow \Delta OAB\) vuông tại \(O.\)

Vậy \(S = \dfrac{1}{2}OA.OB = \dfrac{1}{2}.3.4 = 6\).

Giả sử ta có số phức $z = x + yi$. Thay vào điều kiện \(2|z - 1 - 2i| = |3i + 1 - 2\bar z|\) có

\(2|(x + yi) - 1 - 2i| = |3i + 1 - 2(x - yi)| \Leftrightarrow 2|(x - 1) + (y - 2)i| = |(1 - 2x) + (3 + 2y)i|\) \( \Leftrightarrow 2\sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y - 2)}^2}}  = \sqrt {{{(1 - 2x)}^2} + {{(3 + 2y)}^2}} \)

\( \Leftrightarrow 4{(x - 1)^2} + 4{(y - 2)^2} = {(1 - 2x)^2} + {(3 + 2y)^2}\)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} - 8x + 4 + 4{y^2} - 16y + 16 = 4{x^2} - 4x + 1 + 4{y^2} + 12y + 9\)

\( \Leftrightarrow 4x + 28y - 10 = 0\)

\( \Leftrightarrow 2x + 14y - 5 = 0\)

Gọi \(z = x + yi{\rm{ }}\left( {x;{\rm{ }}y \in \mathbb{R}} \right)\). Ta có

${{\left| z-2 \right|}^{2}}-{{\left| z+i \right|}^{2}}=1$ $\to {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}-{{\left( y+1 \right)}^{2}}=1$ $\xrightarrow{{}}2x+y-1=0$.

Suy ra tập hợp các số phức \({z_1}\) là đường thẳng $\Delta :2x + y - 1 = 0.$

$\left| z-4-i \right|=\sqrt{5}\xrightarrow{{}}\left| \left( x-4 \right)+\left( y-1 \right)i \right|=\sqrt{5}$

$\Leftrightarrow {{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=5$

Suy ra tập hợp các số phức \({z_2}\) là đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5$ có tâm \(I\left( {4;1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 5 .\)

Khi đó biểu thức \(P = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\) là khoảng cách từ một điểm thuộc \(\Delta \) đến một điểm thuộc \(\left( C \right)\).

Từ đó suy ra \({P_{\min }} = MN = \left| {d\left[ {I,\Delta } \right] - R} \right| \) \(= \left| {\dfrac{8}{{\sqrt 5 }} - \sqrt 5 } \right| = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{5}.\)

Ta có $\left| {{z^2} - 2z + 5} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)\left( {z + 3i - 1} \right)} \right|$

$ \Leftrightarrow \left| {{{\left( {z - 1} \right)}^2} + 4} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)} \right|\left| {\left( {z + 3i - 1} \right)} \right| \Leftrightarrow \left| {{{\left( {z - 1} \right)}^2} - {{\left( {2i} \right)}^2}} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)} \right|\left| {\left( {z + 3i - 1} \right)} \right|$

\( \Leftrightarrow \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)\left( {z - 1 - 2i} \right)} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)} \right|\left| {\left( {z + 3i - 1} \right)} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z - 1 + 2i = 0{\rm{  }}(1)\\\left| {\left( {z - 1 - 2i} \right)} \right| = \left| {\left( {z + 3i - 1} \right)} \right|{\rm{  }}(2)\end{array} \right..\)

Từ $\left( 1 \right) \Rightarrow z = 1 - 2i \Rightarrow w =  - 1 \Rightarrow P = \left| w \right| = 1.$

Xét $\left( 2 \right)$. Gọi  \(z = x + yi{\rm{ }}\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\).

Ta có $\left| {\left( {z - 1 - 2i} \right)} \right| = \left| {\left( {z + 3i - 1} \right)} \right| $ $ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} $ $\Leftrightarrow y =  - \dfrac{1}{2}.$

Khi đó $w = x - \dfrac{1}{2}i - 2 + 2i = \left( {x - 2} \right) + \dfrac{3}{2}i$ $ \Rightarrow P = \left| w \right| = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^2}}  \ge \dfrac{3}{2}$

Vậy \({P_{\min }} =1.\)

Giả sử $z = a + bi\left( {a,b \in R} \right)$ ta có:

$\left| {z + 3 + 4i} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {(a + 3) + (b + 4)i} \right| = 2 \Leftrightarrow {(a + 3)^2} + {(b + 4)^2} = 4$

Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thuộc đường tròn tâm $I\left( { - 3; - 4} \right)$ và bán kính $r = 2$

Từ hình vẽ ta thấy số phức \({z_0}\) có mô đun nhỏ nhất nếu \({z_0}\) có điểm biểu diễn là \(M\).

Ta có: $\overrightarrow {OI}  = ( - 3; - 4)$  nên đường thẳng đi qua \(O\) và \(I\) là $OI:\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = 4t\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {3t;4t} \right)$

Mặt khác $M \in \left( C \right)$ nên: ${\left( {3t + 3} \right)^2} + {\left( {4t + 4} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow 25{t^2} + 50t + 21 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \dfrac{{ - 3}}{5}\\t = \dfrac{{ - 7}}{5}\end{array} \right.$

$M\left( {\dfrac{{ - 9}}{5};\dfrac{{ - 12}}{5}} \right)$ hoặc $M\left( {\dfrac{{ - 21}}{5};\dfrac{{ - 28}}{5}} \right)$

$M\left( {\dfrac{{ - 9}}{5};\dfrac{{ - 12}}{5}} \right)$ thuộc $\left( C \right)$  và gần $O$ nhất.

$ \Rightarrow z = \dfrac{{ - 9}}{5} - \dfrac{{12}}{5}i \Rightarrow \left| z \right| = 3$