Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho số phức \({z_1}\) thỏa mãn \({\left| {{z_1} - 2} \right|^2} - {\left| {{z_1} + i} \right|^2} = 1\) và số phức \({z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_2} - 4 - i} \right| = \sqrt 5 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\).
A.
\({P_{\min }} = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}.\)
B.
\({P_{\min }} = \sqrt 5 .\)
C.
\({P_{\min }} = 2\sqrt 5 .\)
D.
\({P_{\min }} = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{5}.\)
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
Đáp án đúng: d
Gọi \(z = x + yi{\rm{ }}\left( {x;{\rm{ }}y \in \mathbb{R}} \right)\). Ta có
${{\left| z-2 \right|}^{2}}-{{\left| z+i \right|}^{2}}=1$ $\to {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}-{{\left( y+1 \right)}^{2}}=1$ $\xrightarrow{{}}2x+y-1=0$.
Suy ra tập hợp các số phức \({z_1}\) là đường thẳng $\Delta :2x + y - 1 = 0.$
$\left| z-4-i \right|=\sqrt{5}\xrightarrow{{}}\left| \left( x-4 \right)+\left( y-1 \right)i \right|=\sqrt{5}$
$\Leftrightarrow {{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=5$
Suy ra tập hợp các số phức \({z_2}\) là đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5$ có tâm \(I\left( {4;1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 5 .\)
Khi đó biểu thức \(P = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\) là khoảng cách từ một điểm thuộc \(\Delta \) đến một điểm thuộc \(\left( C \right)\).
Từ đó suy ra \({P_{\min }} = MN = \left| {d\left[ {I,\Delta } \right] - R} \right| \) \(= \left| {\dfrac{8}{{\sqrt 5 }} - \sqrt 5 } \right| = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{5}.\)
Hướng dẫn giải:
- Gọi \(z = x + yi\) thay vào điều kiện bài cho.
- Sử dụng phương pháp hình học tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\).
Gọi \(z = x + yi{\rm{ }}\left( {x;{\rm{ }}y \in \mathbb{R}} \right)\). Ta có
${{\left| z-2 \right|}^{2}}-{{\left| z+i \right|}^{2}}=1$ $\to {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}-{{\left( y+1 \right)}^{2}}=1$ $\xrightarrow{{}}2x+y-1=0$.
Suy ra tập hợp các số phức \({z_1}\) là đường thẳng $\Delta :2x + y - 1 = 0.$
$\left| z-4-i \right|=\sqrt{5}\xrightarrow{{}}\left| \left( x-4 \right)+\left( y-1 \right)i \right|=\sqrt{5}$
$\Leftrightarrow {{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=5$
Suy ra tập hợp các số phức \({z_2}\) là đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5$ có tâm \(I\left( {4;1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 5 .\)
Khi đó biểu thức \(P = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\) là khoảng cách từ một điểm thuộc \(\Delta \) đến một điểm thuộc \(\left( C \right)\).
Từ đó suy ra \({P_{\min }} = MN = \left| {d\left[ {I,\Delta } \right] - R} \right| \) \(= \left| {\dfrac{8}{{\sqrt 5 }} - \sqrt 5 } \right| = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{5}.\)
Hướng dẫn giải:
- Gọi \(z = x + yi\) thay vào điều kiện bài cho.
- Sử dụng phương pháp hình học tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\).
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Gọi ${z_1},{z_2}$ là các nghiệm của phương trình: $z + \dfrac{1}{z} = - 1$. Giá trị của $P = {z_1}^3 + {z_2}^3$ là:
Nghiệm của phương trình: ${z^2} + (1 - i)z - 18 + 13i = 0$ là:
Với hai số phức bất kì ${z_1},{z_2}$ , khẳng định nào sau đây đúng:
Gọi \(A\) là điểm biểu diễn của số phức \(z = 3 + 2i\) và \(B\) là điểm biểu diễn của số phức \(z' = 2 + 3i\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Gọi \(S\) là tổng phần thực và phần ảo của số phức $w = {z^3} - i$, biết $z$ thỏa mãn $z + 2 - 4i = \left( {2 - i} \right)\overline {iz} $. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Gọi \({z_1}\) và \({z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 10 = 0\). Tính giá trị biểu thức \(P = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}.\)
Cho hai số phức ${z_1} = 1 + i$ và ${z_2} = 2 - 3i$. Tính môđun của số phức ${z_1} - {z_2}.$
Biết rằng có duy nhất một cặp số thực $\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn $\left( {x + y} \right) + \left( {x - y} \right)i = 5 + 3i$. Tính \(S = x + y.\)
Trong các số phức z thỏa mãn \(\left| {z + 3 + 4i} \right| = 2\) , gọi \({z_0}\) là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó:
Tìm phần ảo \(b\) của số phức $w = 1 + \left( {1 + i} \right) + {\left( {1 + i} \right)^2} + {\left( {1 + i} \right)^3} + ... + {\left( {1 + i} \right)^{2018}}$.
Kí hiệu \({z_1},{\rm{ }}{z_2},\,{\rm{ }}{z_3}\) và \({z_4}\) là bốn nghiệm phức của phương trình $6{z^4} + 19{z^2} + 15 = 0.$ Tính tổng \(T = \dfrac{1}{{{z_1}}} + \dfrac{1}{{{z_2}}} + \dfrac{1}{{{z_3}}} + \dfrac{1}{{{z_4}}}.\)
Cho số phức $z = z_1^2 + {\left| {{z_1}} \right|^2}$ với ${z_1}$ là số thuần ảo. Mệnh đề nào sau đây đúng?
