Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {{z^2} - 2z + 5} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)\left( {z + 3i - 1} \right)} \right|\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = \left| w \right|\), với \(w = z - 2 + 2i\).

Đáp án đúng: c

Ta có $\left| {{z^2} - 2z + 5} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)\left( {z + 3i - 1} \right)} \right|$

$ \Leftrightarrow \left| {{{\left( {z - 1} \right)}^2} + 4} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)} \right|\left| {\left( {z + 3i - 1} \right)} \right| \Leftrightarrow \left| {{{\left( {z - 1} \right)}^2} - {{\left( {2i} \right)}^2}} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)} \right|\left| {\left( {z + 3i - 1} \right)} \right|$

\( \Leftrightarrow \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)\left( {z - 1 - 2i} \right)} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)} \right|\left| {\left( {z + 3i - 1} \right)} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z - 1 + 2i = 0{\rm{  }}(1)\\\left| {\left( {z - 1 - 2i} \right)} \right| = \left| {\left( {z + 3i - 1} \right)} \right|{\rm{  }}(2)\end{array} \right..\)

Từ $\left( 1 \right) \Rightarrow z = 1 - 2i \Rightarrow w =  - 1 \Rightarrow P = \left| w \right| = 1.$

Xét $\left( 2 \right)$. Gọi  \(z = x + yi{\rm{ }}\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\).

Ta có $\left| {\left( {z - 1 - 2i} \right)} \right| = \left| {\left( {z + 3i - 1} \right)} \right| $ $ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} $ $\Leftrightarrow y =  - \dfrac{1}{2}.$

Khi đó $w = x - \dfrac{1}{2}i - 2 + 2i = \left( {x - 2} \right) + \dfrac{3}{2}i$ $ \Rightarrow P = \left| w \right| = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^2}}  \ge \dfrac{3}{2}$

Vậy \({P_{\min }} =1.\)

Hướng dẫn giải:

- Biến đổi thu gọn biểu thức bài cho về đơn giản hơn.

- Đánh giá giá trị nhỏ nhất của \(\left| w \right|\) và kết luận.

Giải thích thêm:

Bài này ta có thể giải theo cách hình học từ bước xét phương trình (2):

Điểm M(x;y) biểu diễn số phức z=x+yi thỏa mãn $|z-1-2i|=|z+3i-1|$

Tương đương với $|z-(1+2i)|=|z-(1-3i)|$ (*)

Gọi A(1;2) biểu diễn số phức z=1+2i; B(1;-3)

Khi đó $|z-(1+2i)|=MA$;$|z-(1-3i)|=MB$

(*)<=>$MA=MB$.

Khi đó tập hợp điểm M thỏa mãn $MA=MB$ là đường trung trực của AB. Ta tìm đường trung trực của AB thì sẽ được tập hợp điểm M là đường thẳng $y=-\dfrac{1}{2}$

Gọi N(2;-2) biểu diễn số phức z=2-2i.

Khi đó $P=|w|=|z-2+2i|=MN$

GTNN của P là khoảng cách từ N đến đường thẳng $y=-\dfrac{1}{2}$ và bằng $\dfrac{3}{2}$

Tuy nhiên khi kết hợp với trường hợp 1 thì đán án vẫn là $P_{min}=1$