\(y = \dfrac{5}{3}{x^3} - {x^2} + 4 \Rightarrow y' = 5{x^2} - 2x\)

\(y'(3) = {5.3^2} - 2.3 = 39\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( P \right)\) là \({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x-1={{x}^{2}}-3x+1\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+5x-2=0\Leftrightarrow \left( x-2 \right){{\left( x-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=1\,\,\Rightarrow \,\,y\left( 1 \right)=-\,1 \\& x=2\,\,\Rightarrow \,\,y\left( 2 \right)=-\,1 \\ \end{align} \right..\)

Khi đó \(A\left( 1;-\,1 \right),\,\,B\left( 2;-\,1 \right)\) \(\xrightarrow{{}}\,\,\overrightarrow{AB}=\left( 1;0 \right)\Rightarrow AB=1.\)

Đồ thị hàm số \(y =  - {x^3} + 2{x^2} - 1\)  cắt trục tung \( \Rightarrow x = 0\)

Với \(x = 0\) thay vào hàm số  \( \Rightarrow y =  - 1\).

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{5x + 1}}{{3x - 2}}\) là \(x = \dfrac{2}{3}\)

$x = \dfrac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

$y =  - \dfrac{1}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ;\,\dfrac{1}{2}} \right)$ và $\left( {\dfrac{1}{2};\, + \infty } \right)$

A đúng vì đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là \(x = 1\)

B đúng vì hàm số luôn đồng biến nên không có cực trị

C đúng vì đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang \(y = 2\)

D sai vì hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\) chứ không đồng biến trên toàn bộ tập số thực \(\mathbb{R}\)

Hàm số xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + 1 \ge 0\\x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne 1\) do \({x^2} - 2x + 1 = {\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\)

Dễ thấy hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}\) là hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất nên không có cực trị.

Ngoài ra, có thể kiểm tra được các cực trị của mỗi hàm số được cho ở ba đáp án B, C, D.

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x + b}}{{cx + d}}\) có \(\left\{ \begin{align}& \xrightarrow{TCN}y=\dfrac{2}{c}=2\Rightarrow c=1 \\  & \xrightarrow{TCD}x=-\dfrac{d}{c}=-\dfrac{d}{1}=-1\Rightarrow d=1 \\ \end{align} \right.\)

Hàm số có dạng \(y = \dfrac{{2x + b}}{{x + 1}}\left( C \right)\).

Ta có điểm \(\left( {0;1} \right) \in \left( C \right)\).

Thay \(x = 0\) và \(y = 1\) vào hàm số ta được \(1 = \dfrac{{2.0 + b}}{{0 + 1}} \Rightarrow b = 1\) \( \Rightarrow b + c + d = 3\).

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{3x + 1}}{{x + 2}}$ có:

- Tiệm cận đứng là $x =  - 2$.

- Tiệm cận ngang là $y = 3$.

Diện tích hình chữ nhật được tạo bởi 2 tiệm cận là: $S=\left| -2 \right|.\left| 3 \right|=6$ đvdt

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta suy ra được đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) như sau:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( {\left| x \right|} \right) = 3m + 1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) và đường thẳng \(y = 3m + 1\) song song với trục hoành.

Do đó để phương trình \(f\left( {\left| x \right|} \right) = 3m + 1\) có 4 nghiệm phân biệt thì \( - 2 < 3m + 1 < 0 \Leftrightarrow  - 1 < m <  - \dfrac{1}{3}\).

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\). Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là \(x = 2\) và \(y = 2\).

Ta có \(y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\). Gọi \(M\left( {m;\,\dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số.

Phương trình tiếp tuyến \(d\) của \(\left( C \right)\) tại \(M\): \(y = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}}\left( {x - m} \right) + \dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}}\).

Cho \(x = 2 \Rightarrow y = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}}\left( {2 - m} \right) + \dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}}\)\( \Leftrightarrow y = \dfrac{2}{{m - 2}} + \dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}} = \dfrac{{2m}}{{m - 2}}\).

\( \Rightarrow \) Giao điểm của \(d\) và đường thẳng \(x = 2\) là \(A\left( {2;\,\dfrac{{2m}}{{m - 2}}} \right)\).

Cho \(y = 2 \Rightarrow \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}}\left( {x - m} \right) + \dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}} = 2\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 2\left( {x - m} \right) + \left( {2m - 2} \right)\left( {m - 2} \right) = 2{\left( {m - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow  - 2x + 2m + 2{m^2} - 6m + 4 = 2{m^2} - 8m + 8\\ \Leftrightarrow 2x = 4m - 4 \Leftrightarrow x = 2m - 2\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Giao điểm của \(d\) và đường thẳng \(y = 2\) là \(B\left( {2m - 2;\,2} \right)\).

Ta có: \(AB = 2\sqrt 5  \Leftrightarrow {\left( {2m - 4} \right)^2} + {\left( {2 - \dfrac{{2m}}{{m - 2}}} \right)^2} = 20\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{\left( {m - 2} \right)^2} + \dfrac{{16}}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}} = 20\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^4} - 5{\left( {m - 2} \right)^2} + 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {m - 2} \right)^2} = 1\\{\left( {m - 2} \right)^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = 1\\m = 4\\m = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(S = 3 + 1 + 4 + 0 = 8\).