Véc tơ trong không gian

1. Kiến thức cần nhớ

a) Véc tơ trong không gian.

Cho các véc tơ tùy ý $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$ và $k,l \in R$.

b) Tích vô hướng của một véc tơ với một số thực

Cho véc tơ $\overrightarrow a$ và một số thực $k$, tích vô hướng của $k$ và $\overrightarrow a$ kí hiệu là $k.\overrightarrow a$.

Tính chất:

+) Cùng hướng với $\overrightarrow a$ nếu $k > 0$.

+) Ngược hướng với $\overrightarrow a$ nếu $k < 0$.

+) $\left| {k.\overrightarrow a } \right| = \left| k \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|$

c) Tích vô hướng của hai véc tơ

+) Định nghĩa: $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$.

+) Hệ quả: $\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0$.

+) $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$

+) ${\overrightarrow a ^2} = \overrightarrow a .\overrightarrow a  = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}$.

+) Quy tắc hình chiếu: Cho hai véc tơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$. Gọi $\overrightarrow {a'}$ là hình chiếu vuông góc của $\overrightarrow a$ trên đường thẳng chứa $\overrightarrow b$ thì: $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \overrightarrow {a'} .\overrightarrow b$.

+) Điểm $M$ chia đoạn thẳng $AB$ theo tỉ số $k\left( {k \ne 1} \right)$, với điểm $O$ tùy ý ta có:

d) Véc tơ đồng phẳng

Ba véc tơ đồng phẳng: Ba véc tơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Định lý:

a) Cho $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ không cùng phương, ba véc tơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$ đồng phẳng $\Leftrightarrow \exists m,n \in R:\overrightarrow c = m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b$ (với $m,n$ xác định duy nhất.

b) Nếu ba véc tơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$ không đồng phẳng thì mọi véc tơ $\overrightarrow x$ đều được biểu diễn dưới dạng $\overrightarrow x = m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b  + p.\overrightarrow c$ với $m,n,p$ xác định duy nhất.

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chứng minh ba véc tơ đồng phẳng, bốn điểm đồng phẳng.

Phương pháp:

Ta có thể sử dụng một trong số các cách sau đây:

Cách 1: Chứng minh các giá của ba véc tơ cùng song song với một mặt phẳng.

Cách 2: Dựa vào điều kiện để ba véc tơ đồng phẳng: Nếu có $m,n \in R:\overrightarrow c  = m.\overrightarrow a  + n.\overrightarrow b$ thì $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$ đồng phẳng.

Dạng 2: Phân tích một véc tơ qua ba véc tơ không đồng phẳng.

Phương pháp:

Để phân tích một véc tơ $\overrightarrow x$ theo ba véc tơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$ không đồng phẳng, ta tìm các số $m,n,p$ sao cho: $\overrightarrow x  = m.\overrightarrow a  + n.\overrightarrow b  + p.\overrightarrow c$.

Dạng 3: Tính độ dài đoạn thẳng, véc tơ.

Phương pháp:

- Bước 1: Chọn ba véc tơ không đồng phẳng $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$ sao cho độ dài của chúng có thể tính được và góc giữa chúng có thể tính được.

- Bước 2: Phân tích $\overrightarrow {MN}  = m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  + p\overrightarrow c$.

- Bước 3: Tính độ dài $MN$ dựa vào công thức $M{N^2} = {\left| {\overrightarrow {MN} } \right|^2} = {\overrightarrow {MN} ^2} = {\left( {m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  + p\overrightarrow c } \right)^2}$

Dạng 4: Sử dụng điều kiện đồng phẳng của bốn điểm để giải bài toán hình không gian.

Phương pháp:

Sử dụng các kết quả:

+) $A,B,C,D$ là bốn điểm đồng phẳng $\Leftrightarrow \overrightarrow {DA}  = m.\overrightarrow {DB}  + n.\overrightarrow {DC}$

+) $A,B,C,D$ là bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với mọi điểm $O$ bất kì ta có: