Ôn tập chương 5

I. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM

1. Định nghĩa đạo hàm tại 1 điểm

* Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x₀$\in$(a; b)

$f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ ($\Delta x = x - {x_0};\,\,\Delta y = f(x) - f({x_0})$)

* Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x₀ thì nó liên tục tại điểm đó

2. Ý nghĩa của đạo hàm

* $f'({x_0})$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x₀; f(x₀))

* Phương trình tiếp tuyến (PTTT) của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x₀; y₀) với y₀ = f(x₀) là:

$y = f'({x_0})(x - {x_0}) + {y_0}$

3. Tính đạo hàm bằng định nghĩa

PP: * Bước 1: Giả sử $\Delta x$là số gia của đối số tại x­₀. Ta có: $\Delta$y = f(x₀ + $\Delta$x) – f(x₀)

* Bước 2: Lập tỉ số: $\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$

* Bước 3: Tìm $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$

4. Phương trình tiếp tuyến (PTTT)

a) PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x₀; y₀)

* Bước 1: PTTT của đồ thị hàm số có dạng: $y = f'({x_0})(x - {x_0}) + {y_0}$(1)

* Bước 2: $f'(x)$$\Rightarrow$$f'({x_0})$

* Bước 3: PTTT là: (thay $f'({x_0})$, x₀, y₀ vào (1)) và rút gọn về dạng y = ax + b

b) PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ bằng a

* Bước 1: Ta có: x₀ = a $\Rightarrow$y₀ = f(x₀) = b: M(a; b)

* Bước 2: Trình bày như a)

c) PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có tung độ bằng b

* Bước 1: Ta có: y₀ = b $\Rightarrow$x₀ = a (cho f(x) = b): M(a; b)

* Bước 2: Trình bày như a)

d) PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) có hệ số góc k

* Bước 1: Ta có: $f'({x_0})$= k

* Bước 2: PTTT của đồ thị hàm số có dạng: $y = f'({x_0})(x - {x_0}) + {y_0}$(1)

* Bước 3: $f'(x)$$\Rightarrow$ $f'({x_0})$= k (giải PT này suy ra nghiệm x₀) $\Rightarrow$ y₀ = f(x₀)

* Bước 4: PTTT là: (thay $f'({x_0})$, x₀, y₀ vào (1)) và rút gọn về dạng y = ax + b

e) PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) song song với đường thẳng y = ax + b

* Bước 1: Ta có: $f'({x_0})$= k = a

* Bước 2: Trình bày như d) (từ bước 2)

f) PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) vuông góc với đường thẳng y = ax + b

* Bước 1: Ta có: $f'({x_0}) = k =  - \dfrac{1}{a}$

* Bước 2: Trình bày như d) (từ bước 2)

II. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

1. Đạo hàm của tổng , hiệu, tích, thương

2. Đạo hàm cơ bản và hàm hợp

Ghi nhớ: 1) $y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}$$\Rightarrow$$y' = \dfrac{{ad - bc}}{{{{(cx + d)}^2}}}$

2) $y = \dfrac{{a{x^2} + bx + c}}{{dx + e}}$$\Rightarrow$$y' = \dfrac{{ad{x^2} + 2aex + be - cd}}{{{{(dx + e)}^2}}}$  

3) $y = \dfrac{{a{x^2} + bx + c}}{{{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}}}$$\Rightarrow$$y' = \dfrac{{(a{b_1} - {a_1}b){x^2} + 2(a{c_1} - {a_1}c)x + (b{c_1} - {b_1}c)}}{{{{({a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1})}^2}}}$

4) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1$

5) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\tan x}}{x} = 1$

6) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{\sin u(x)}}{{u(x)}} = 1$ với $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} u(x) = 0$ 

III. VI PHÂN

1) Vi phân

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ và có đạo hàm tại $x \in \left( {a;b} \right)$. Giả sử $\Delta x$ là số gia của $x$.

Ta gọi tích $f'\left( x \right)\Delta x$ là vi phân của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại $x$ ứng với số gia $\Delta x$, kí hiệu là $df\left( x \right)$ hoặc $dy$, tức là:

$dy = df\left( x \right) = f'\left( x \right)\Delta x$

Chú ý:

Áp dụng định nghĩa trên vào hàm số $y = x$ ta có:

$dx = d\left( x \right) = \left( x \right)'\Delta x = 1.\Delta x = \Delta x$

Do đó với hàm số $y = f\left( x \right)$ ta có:

$dy = df\left( x \right) = f'\left( x \right)dx$

2) Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm $x \in (a;b)$

* Đạo hàm cấp hai của y = f(x). Ký hiệu: $y'' = f''(x) = [f'(x)]'$

* Đạo hàm cấp ba của y = f(x). Ký hiệu: $y''' = f'''(x) = [f''(x)]'$hoặc ${y^{(3)}} = {f^{(3)}}(x) = [f''(x)]'$ 

* Đạo hàm cấp bốn của y = f(x). Ký hiệu: ${y^{(4)}} = {f^{(4)}}(x) = [{f^{(3)}}(x)]'$.......

* Đạo hàm cấp n – 1 của y = f(x). Ký hiệu: ${y^{(n - 1)}} = {f^{(n - 1)}}(x)$

* Đạo hàm cấp n của y = f(x). Ký hiệu: ${y^{(n)}} = {f^{(n)}}(x) = [{f^{(n - 1)}}(x)]'$