Ôn tập chương 4
I. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
1. Các giới hạn đặc biệt
2. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
S=u1+u1q+u1q2+...+u1qn−1+...=u11−q(|q|<1)
3. Định lý kẹp
Nếu |un|≤vn và lim thì \lim {u_n} = 0
II. GIỚI HẠN HÀM SỐ
1. Giới hạn đặc biệt
a) \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0}; \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c,\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c (c là hằng số)
b) \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = + \infty , \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = + \infty nếu k chẵn và \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = - \infty nếu k lẻ.
c) \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{c}{{{x^k}}} = 0
d) \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{1}{x} =- \infty ; \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{1}{x} = + \infty , \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{1}{{\left| x \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{1}{{\left| x \right|}} = + \infty
Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số cũng tương tự với giới hạn dãy số.
2. Giới hạn một bên
\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L
III. HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. Hàm số liên tục
- Tại một điểm {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).
- Trong một khoảng: liên tục tại mọi điểm trong khoảng.
- Trong một đoạn \left[ {a;b} \right]: liên tục trên khoảng \left( {a;b} \right) và \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right).
2. Tính chất có nghiệm của phương trình
- Nếu y = f\left( x \right) liên tục trên \left[ {a;b} \right] và f\left( a \right).f\left( b \right) < 0 thì tồn tại ít nhất một số c \in \left( {a;b} \right) sao cho f\left( c \right) = 0 hay phương trình f\left( x \right) = 0 có ít nhất một nghiệm.
- Nếu y = f\left( x \right) liên tục trên \left[ {a;b} \right], đặt m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right). Khi đó với mọi T \in \left( {m;M} \right) luôn tồn tại ít nhất một số c \in \left( {a;b} \right) sao cho f\left( c \right) = T.