Đạo hàm cấp cao

Lý thuyết về vi phân và đạo hàm cấp cao môn toán lớp 11 với nhiều dạng bài cùng phương pháp giải nhanh kèm bài tập vận dụng
(389) 1296 29/07/2022
Bài viết đã được lưu
Chia sẻ

Nội dung bài viết

    Xem thêm

    1. Vi phân

    \(df\left( x \right) = f'\left( x \right)dx\) hoặc \(dy = y'dx\)

    2. Đạo hàm cấp cao

    Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\).

    + Nếu hàm số \(f'\left( x \right)\) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số \(f\left( x \right)\), kí hiệu là \(f''\left( x \right)\).

    Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai:

    Xét một chất điểm chuyển động có phương trình là: \(S = s\left( t \right)\).

    Khi đó, vận tốc của chất điểm tại thời điểm \({t_0}\) là: \(v\left( {{t_0}} \right) = S'\left( {{t_0}} \right)\)

    Gia tốc của chất điểm tại thời điểm \({t_0}\) là: \(a\left( {{t_0}} \right) = S''\left( {{t_0}} \right)\)

    + Đạo hàm cấp \(n\left( {n \in N,n \ge 2} \right)\) của hàm số \(y = f\left( x \right)\), kí hiệu là \({f^{\left( n \right)}}\left( x \right)\) hay \({y^{\left( n \right)}}\) là đạo hàm cấp một của hàm số \({f^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right)\), tức là \({f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = \left[ {{f^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right)} \right]'\)

    Đạo hàm cấp cao của một số hàm cơ bản

    +) \({\left( {\sin x} \right)^{\left( n \right)}} = \sin \left( {x + \dfrac{{n\pi }}{2}} \right)\)

    +) \({\left( {\cos x} \right)^{\left( n \right)}} = \cos \left( {x + \dfrac{{n\pi }}{2}} \right)\)

    +) Nếu $n \le m$ thì $\left( {{x^m}} \right)^{\left( n \right)} =m\left( {m - 1} \right)...\left( {m - n + 1} \right).{x^{m - n}}$

    +) Nếu $n>m$ thì ${\left( {{x^m}} \right)^{\left( n \right)}} =0$.

    $\begin{array}{l}
    + )y = \sin \left( {ax + b} \right)\\
    \Rightarrow {y^{\left( n \right)}} = {a^n}\sin \left( {ax + b + \frac{{n\pi }}{2}} \right)\\
    + )y = \cos \left( {ax + b} \right)\\
    \Rightarrow {y^{\left( n \right)}} = {a^n}\cos \left( {ax + b + \frac{{n\pi }}{2}} \right)\\
    + )y = \frac{1}{{ax + b}}\\
    \Rightarrow {y^{\left( n \right)}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!.{a^n}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}\\
    + )y = \sqrt[m]{{ax + b}}\\
    \Rightarrow {y^{\left( n \right)}} = \frac{1}{m}.\left( {\frac{1}{m} - 1} \right)...\left( {\frac{1}{m} - n + 1} \right).{a^n}.{\left( {ax + b} \right)^{\frac{1}{m} - n}}
    \end{array}$

    Xem toàn bộ nội dung Toán 11:

    (389) 1296 29/07/2022
    Bài viết đã được lưu
    Bài trước
    Chia sẻ
    Bài sau  
    Tìm thêm: Lý thuyết Lý thuyết lớp 11 Toán 11