Ta có: \(V = \pi {.4^2}.3 = 48\pi \)

Hình trụ tạo thành khi quay hình chữ nhật \(MNPQ\) quanh đường trung bình \(AB\) ta sẽ được hình trụ có đường cao \(AB\), đường sinh \(MQ,NP\) và bán kính đáy \(MA,NA,BP,BQ\), đường kính đáy \(MN,PQ\).

Do đó đường kính đáy của hình trụ là \(MN\).

Quan sát hình vé ta thấy, có \(4\) hình nón được tạo thành.

Khi quay đường thẳng, đường tròn quanh một trục cố định thì ta được mặt tròn xoay.

Khi quay một điểm quanh trục cố định ta chỉ được một đường tròn.

Ta có: \({l^2} = {r^2} + {h^2} \Rightarrow h = \sqrt {{l^2} - {r^2}}  \Rightarrow V = \dfrac{1}{3}{S_d}.h = \dfrac{1}{3}{S_d}.\sqrt {{l^2} - {r^2}} \)

Bán kính của mặt cầu đã cho là:\(R = 12:2 = 6.\)

Thể tích khối cầu đã cho là: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi {.6^3} = 288\pi .\)

Ta có: \(V = \pi {R^2}h = \pi {.2^2}.3 = 12\pi \).

Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là: \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .\sqrt 3 .4 = 4\sqrt 3 \pi .\)

Nếu \(OH < R\) thì \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn.

+ Nếu điểm \(A\) nằm trong mặt cầu thì không vẽ được tiếp tuyến nên loại đáp án D.

+ Nếu điểm \(A\) nằm trên mặt cầu thì vẽ được các tiếp tuyến thuộc mặt phẳng tiếp diện nên (hay nó chỉ tiếp xúc với mặt cầu) loại đáp án A.

+ Nếu điểm \(A\) nằm ngoài mặt cầu thì vẽ được vô số tiếp tuyến với mặt cầu đi qua \(A\) nhưng các tiếp tuyến đều đồng quy tại \(A\).

Trong khi đó, tiếp tuyến với mặt cầu tại các điểm thuộc đường tròn lớn thì song song với nhau nên không có trường hợp nào thỏa mãn.

Gọi I là trung điểm của SA.

Vì tam giác SAB vuông tại B nên IA = IB = IS

Vì tam giác SAC vuông tại C nên IA = IS = IC.

Do đó IA = IB = IC = IS nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC

Gọi D là trung điểm của BC ta có D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC $ \Rightarrow ID \bot \left( {ABC} \right)$

$\begin{array}{*{20}{l}}{\rm{\;}}&{ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = 2{V_{I.ABC}} = \dfrac{2}{3}ID.{S_{ABC}} \Rightarrow ID = \dfrac{{3{V_{S.ABC}}}}{{2{S_{ABC}}}} = \dfrac{{2{a^3}}}{{2{a^2}}} = a}\\{{\rm{ \;}}}&{AD = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}}\\{{\rm{ \;}}}&{ \Rightarrow AI = \sqrt {A{D^2} + I{D^2}}  = \dfrac{{3a}}{2} = R}\end{array}$

Qua một điểm nằm trên mặt cầu ta vẽ được duy nhất \(1\) mặt phẳng tiếp diện với mặt cầu tại điểm đó.

Đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh \(a\) là \(D = 2R = a\sqrt 3  = 6\sqrt 3 \)

Bán kính đáy của hình trụ đã cho là:\(r = \frac{d}{2} = \frac{8}{2} = 4.\)

Diện tích toàn phần của hình trụ đã cho là:\({S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2}\) \( = 2\pi .2.4 + 2\pi {.4^2} = 48\pi .\)

Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu nó đi qua mọi đỉnh của đa diện.

Giả sử thiết diện qua trục của hình nón đã cho là $\Delta ABC$ cân tại $A$ với $A$ là đỉnh nón, $BC$ là đường kính đáy của nón.

Gọi $H$ là tâm đáy nón $ \Rightarrow H$ là trung điểm $BC,AH \bot BC$

Ta có $HB = HC = 1,AH = 2$ . Ta có

$\begin{array}{l}2\varphi  = \angle BAC \Rightarrow \varphi  = \angle HAC\\AC = \sqrt {A{H^2} + H{C^2}}  = \sqrt 5 \\\cos \varphi  = \dfrac{{AH}}{{AC}} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}\end{array}$

Quay tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) quanh cạnh \(AC\) thu được khối nón có chiều cao \(h = AC = a\), bán kính đáy \(r = AB = a\).

Khi đó thể tích khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {a^3}.\)

Thể tích gáo \({V_1} = \pi {R^2}.h = \pi .0,{04^2}.0,05 = 8\pi {.10^{ - 5}}({m^3})\)

Số nước múc ra trong một ngày \({V_2} = 170{V_1} = 170.8.\pi {.10^{ - 5}} = 0,0136\pi \left( {{m^3}} \right)\)

Số ngày dùng hết nước là \(\dfrac{{2.3.2}}{{{V_2}}} = \dfrac{{12}}{{0,0136\pi }} \approx 281\)(ngày)

Gọi độ dài đường cao của ống trụ là \(10x\,\,\left( {cm} \right)\,\,\left( {x > 0} \right)\).

Chia ống trụ thành 10 phần bằng nhau, mỗi phần có độ dài đường sinh là \(x\,\,\left( {cm} \right)\).

Trải phẳng mỗi ống trụ nhỏ ta được 1 hình chữ nhật có hai kích thước là \(x\) và \(2\pi .R = 2\pi .\dfrac{2}{\pi } = 4\,\,\left( {cm} \right)\).

Khi đó độ dài đường chéo của hình chữ nhật là \(\sqrt {{x^2} + {4^2}}  = \sqrt {{x^2} + 16} \), và độ dài đường chéo chính bằng độ dài của 1 vòng.

Do đó ta có phương trình: \(10\sqrt {{x^2} + 16}  = 50 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 16}  = 5\) \( \Rightarrow {x^2} + 16 = 25 \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = 3\,\,\left( {cm} \right)\,\,\left( {tm} \right)\).

\( \Rightarrow \) Độ dài đường cao của ống trụ là \(h = 10x = 30\,\,\left( {cm} \right)\).

Vậy diện tích xung quanh của ống trụ là \({S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .\dfrac{2}{\pi }.30 = 120\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).

Xét tam giác vuông \(ABC\) ta có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{2^2} + {4^2}}  = 2\sqrt 5 \).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\).

Gọi \({R_{day}}\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC \Rightarrow {R_{day}} = \dfrac{{BC}}{2} = \sqrt 5 \).

Sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) :

\(R = \sqrt {\dfrac{{S{A^2}}}{4} + R_{day}^2}  = \sqrt {\dfrac{5}{4} + 5}  = \dfrac{5}{2}\).

Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm $AB$, tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta SAB$, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC \Rightarrow MNPQ$ là hình vuông suy ra

$PN = MQ = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6};NB = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp là $R = PB = \sqrt {P{N^2} + N{B^2}}  = \dfrac{{\sqrt {15} }}{6}$

Thể tích $V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{{5\sqrt {15} \pi }}{{54}}$

Tam giác ABC có:

\(\left\{ \begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25\\B{C^2} = {5^2} = 25\end{array} \right.\) \( \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) \( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại A (Định lí Pytago đảo).

Gọi H là trung điểm của BC khi đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, suy ra \(HA = HB = HC = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{5}{2}.\)

Mà \(OA = OB = OC \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {O;\left( {ABC} \right)} \right) = OH = 1.\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OBH có: \(R = OB = \sqrt {O{H^2} + H{B^2}}  = \sqrt {1 + {{\left( {\dfrac{5}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt {29} }}{2}.\)

Vậy thể tích khối cầu cần tìm là: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{{29\sqrt {29} }}{6}\pi .\)

Gọi \({I_1},{I_2},{I_3}\) là tâm của các hình cầu, \(M,N,P\) là các tiếp điểm của các hình cầu (như hình vẽ), \(H,K,F\) là tiếp  ba hình cầu với mặt phẳng (P) (như hình vẽ).

Xét mặt phẳng \(\left( {{I_1}{I_2}KH} \right)\), có:

\(\begin{array}{l}HK = \sqrt {{I_1}{I_2}^2 - {{\left( {{I_2}K - {I_1}H} \right)}^2}} \,\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {{R_1} + {R_2}} \right)}^2} - {{\left( {{R_1} - {R_2}} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {4{R_1}{R_2}}  = 2 \Rightarrow {R_1}{R_2} = 1\end{array}\)

Tương tự, \({R_1}{R_3} = \dfrac{9}{4},\,{R_2}{R_3} = 4\)

\( \Rightarrow {R_1}{R_2}{R_3} = \sqrt {1.\dfrac{9}{4}.4}  = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{R_1} = \dfrac{3}{4}\\{R_2} = \dfrac{4}{3}\\{R_3} = 3\end{array} \right.\).

Vậy \({R_1} + {R_2} + {R_3} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{4}{3} + 3 = \dfrac{{61}}{{12}}\).

Gọi thể tích của phễu là $V,$ bán kính đáy phễu là $R,$ bán kính của cột nước có dạng khối nón trong H1 là $R_1$

Ta có: \(\dfrac{{10}}{{20}} = \dfrac{{{R_1}}}{R} = \dfrac{1}{2}\)

Gọi $V_1$ là thể tích của nước ta có:

\(\dfrac{{{V_1}}}{V} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}\pi R_1^2.10}}{{\dfrac{1}{3}\pi{R^2}.20}} = \dfrac{1}{2}{\left( {\dfrac{{{R_1}}}{R}} \right)^2}= \dfrac{1}{8} \Rightarrow {V_1} = \dfrac{1}{8}V\)

Sau khi úp ngược phễu lên, thể tích của phần không có nước có dạng khối nón có thể tích là \({V_2} = V - {V_1} = \dfrac{7}{8}V\)

Gọi $h, R_2$ là chiều cao và bán kính đáy của khối nón không chứa nước ở H2 ta có

\(\dfrac{{{R_2}}}{R} = \dfrac{h}{{20}}\) và : \(\dfrac{{{V_2}}}{V}= \dfrac{{\dfrac{1}{3}\pi R_2^2h}}{{\dfrac{1}{3}\pi {R^2}.20}} = \dfrac{7}{8} \Rightarrow {\left( {\dfrac{{{R_2}}}{R}} \right)^2}.\dfrac{h}{{20}} =\dfrac{7}{8} \Leftrightarrow \dfrac{{{h^3}}}{{{{20}^3}}} = \dfrac{7}{8} \Rightarrow h = 10\sqrt[3]{7}\)

\( \Rightarrow \) Chiều cao của cột nước trong H2 là \(20 - 10\sqrt[3]{7}cm\) .

Gắn hệ trục tọa độ trong mặt phẳng chứa đường tròn $(C)$ như hình vẽ.

Phương trình đường tròn $(C):$ ${\left( {x - R} \right)^2} + {\left( {y - R} \right)^2} = {R^2},\,\,\,(R > 2)$

Điểm $\left( {1;2} \right)$ thuộc (C)$ \Rightarrow {\left( {1 - R} \right)^2} + {\left( {2 - R} \right)^2} = {R^2} \Leftrightarrow {R^2} - 6R + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}R = 1\,\,(L)\\R = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow R = 5$

$ \Rightarrow $ Chiều cao của khối trụ $h = 2R = 10$

Thể tích khối trụ là: $V = \pi {R^2}h = \pi {.5^2}.10 = 250\pi $.