Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiĐề kiểm tra 15 phút chương 6: Mặt nón, trụ, cầu - Đề số 2
-
Hocon247
-
12 câu hỏi
-
45 phút
-
565 lượt thi
-
Trung bình
Tham gia [ Hs Hocon247.com ] - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến để được học tập những kiến thức bổ ích từ HocOn247.com
Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đường tròn đáy \(R\) và chiều cao \(h\) bằng:
Hình nón có bán kính đáy R và chiều cao h thì đường sinh \(l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} \).
Khi đó diện tích xung quanh hình nón là \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi R\sqrt {{R^2} + {h^2}} \).
Hướng dẫn giải:
- Tính đường sinh của hình nón \(l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} \).
- Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy \(R\), đường sinh \(l\)là \({S_{xr}} = \pi Rl\).
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có đường kính 10 cm và mặt phẳng \(\left( P \right)\) cách tâm mặt cầu một khoảng 4 cm. Khẳng định nào sau đây sai?
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có đường kính là 10cm bán kính \(R = 5cm\).
Mà khoảng cách từ tâm của mặt cầu và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(d = 4cm < R\).
Do đó mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo một đường tròn có bán kính \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}} = 3\,\,\left( {cm} \right)\).
Vậy trong 4 đáp án chỉ có đáp án C sai.
Hướng dẫn giải:
- Tìm bán kính của mặt cầu.
- So sánh bán kính \(R\) của mặt cầu với khoảng cách \(d\) từ tâm đến mặt phẳng \(\left( P \right)\).
+ Nếu \(R > d\) thì \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo một đường tròn có bán kính \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}} \).
+ Nếu \(R = d\) thì \(\left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\).
+ Nếu \(R < d\) thì \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) không có điểm chung nào.
Khối trụ tròn xoay có thể tích bằng \(144\pi \) và bán kính đáy bằng 6. Đường sinh của khối trụ bằng:
Ta có \(V = \pi {r^2}h \Leftrightarrow 144\pi = \pi {.6^2}.h \Leftrightarrow h = 4\).
Vậy đường sinh của khối trụ bằng 4.
Hướng dẫn giải:
- Khối trụ có đường sinh bằng chiều cao.
- Sử dụng công thức tính thể tích khối trụ có chiều cao h, bán kính đáy r là \(V = \pi {r^2}h\).
Gọi \(r,l,h\) lần lượt là bán kính đáy, độ dài đường sinh và chiều cao của hình nón. Chọn mệnh đề đúng:
Quan sát hình vẽ ta thấy: \(l = AB,r = OB,h = AO\).
Mà \(A{B^2} = A{O^2} + O{B^2}\) nên \({l^2} = {r^2} + {h^2}\)
Hướng dẫn giải:
Sử dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông.
Giải thích thêm:
Một số em sẽ chọn nhầm đáp án C vì biến đổi nhầm định lý Pi-ta-go.
Hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và có $SA = a,AB = b,AC = c$. Mặt cầu đi qua các đỉnh $A,B,C,S$ có bán kính $r$ bằng :
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot AC\end{array} \right.\).
Mà \(AB \bot AC\) nên hình chóp \(S.ABC\) là tứ diện vuông.
Áp dụng công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông ta được \(R = \sqrt {\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4}} = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2}\)
Hướng dẫn giải:
Sử dụng công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông \(R = \sqrt {\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4}} \)
Giải thích thêm:
Có thể giải bài toán bằng cách khác như sau:
Dựng hình hộp chữ nhật có $3$ cạnh là $a,b,c$ nên có độ dài đường chéo là $\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} $.
Do đó bán kính mặt cầu đi qua $8$ đỉnh của hình hộp là $\dfrac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} $.
Một khối trụ có bán kính đáy bằng \(2\), chiều cao bằng \(3\). Tính thể tích \(V\) của khối trụ.
Ta có: \(V = \pi {R^2}h = \pi {.2^2}.3 = 12\pi \).
Hướng dẫn giải:
Thể tích khối trụ \(V = \pi {R^2}h\).
Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng \(2a\) và bán kính đáy bằng \(a\). Thể tích của khối nón đã cho bằng
Xét \(\Delta SAO\) vuông tại \(O\) có: \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 .\)
Khi đó ta có: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .{a^2}.a\sqrt 3 = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}.\)
Hướng dẫn giải:
+) Sử dụng công thức: \(h = \sqrt {{l^2} - {R^2}} .\)
+) Thể tích hình nón có bán kính R và đường cao h là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h.\)
Chọn mệnh đề đúng:
Điểm \(M\) thuộc mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(R\) thì \(OM = R\).
Điểm \(M\) thuộc khối cầu tâm \(O\) bán kính \(R\) thì \(OM \le R\).
Do đó điểm thuộc mặt cầu sẽ thuộc khối cầu.
Giải thích thêm:
Một số em sẽ chọn nhầm đáp án C vì nhầm lẫn mọi điểm nằm ngoài mặt cầu sẽ thuộc khối cầu là sai.
Điểm \(M\) thuộc mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(R\) nếu:
Điểm \(M\) thuộc mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(R\) nếu \(OM = R\).
Cho hình nón có các kích thước \(r = 1;h = 2\) với \(r,h\) lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường cao hình nón. Diện tích toàn phần hình nón là:
Ta có: \({l^2} = {r^2} + {h^2} \Rightarrow l = \sqrt {{r^2} + {h^2}} = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 \)
Do đó \({S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2} = \pi .1.\sqrt 5 + \pi {.1^2} = \left( {1 + \sqrt 5 } \right)\pi \)
Hướng dẫn giải:
- Tính độ dài đường sinh hình nón sử dụng công thức \({l^2} = {r^2} + {h^2}\).
- Tính diện tích toàn phần sử dụng công thức \({S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}\).
Giải thích thêm:
Một số em áp dụng nhầm công thức \({l^2} = {h^2} - {r^2}\) nên ra đáp án C là sai. Một số em lại áp dụng sai công thức \({S_{tp}} = \pi rh + \pi {r^2}\) dẫn đến chọn nhầm đáp án A là sai.
Thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật có chu vi là \(12\,{\rm{cm}}\). Giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ là
Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là \(r\) và \(h\left( {r,h > 0} \right)\)
Thiết diện là hình chữ nhật \(ABCD\) có chu vi \(2\left( {AB + BC} \right) = 2.\left( {h + 2r} \right)\)
Theo giả thiết ta có \(2\left( {h + 2r} \right) = 12 \Leftrightarrow h + 2r = 6 \Rightarrow h = 6 - 2r\,\,\left( {r < 3} \right)\)
Thể tích khối trụ \(V = \pi {r^2}h = \pi {r^2}.\left( {6 - 2r} \right) = \pi r.r.\left( {6 - 2r} \right)\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số \(r;r;6 - 2r\) ta được
\(r + r + 6 - 2r \ge 3\sqrt[3]{{r.r\left( {6 - 2r} \right)}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{r.r\left( {6 - 2r} \right)}} \le 2 \Leftrightarrow {r^2}\left( {6 - 2r} \right) \le 8 \Leftrightarrow \pi {r^2}\left( {6 - 2r} \right) \le 8\pi \)
Hay \(V \le 8\pi \) . Dấu = xảy ra khi \(r = 6 - 2r \Leftrightarrow r = 2\left( {TM} \right)\)
Vậy giá trị lớn nhất của khối trụ là \(V = 8\pi .\)
Hướng dẫn giải:
+ Sử dụng công thức tính chu vi hình chữ nhật = (chiều dài+chiều rộng).2
+ Sử dụng công thức tính thể tích hình trụ có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\) là \(V = \pi {r^2}h\)
+ Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\) để tìm giá trị lớn nhất của thể tích.
Chú ý dấu = xảy ra khi \(a = b = c.\)
(Hoặc sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn nhất của thể tích.)
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có chiều cao bằng 4, đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = 2; \(\angle BAC = {120^0}\). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ trên.
Gọi M là trung điểm của BC, H là điểm đối xứng với A qua M.
Xét tứ giác ABHC có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và \(AM \bot BC \Rightarrow AH \bot BC\) (do tam giác ABC cân tại A) nên ABHC là hình thoi \( \Rightarrow HB = HC\).
Xét tam giác ABH có AB = BH, \(\angle BAH = \dfrac{1}{2}\angle BAC = {60^0}\) nên là tam giác đều, do đó HA = HB.
Suy ra HA = HB = HC hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Gọi H’ là hình chiếu của A lên (A’B’C’) thì H’ chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’, khi đó HH’ là trục của khối lăng trụ đứng.
Gọi I là trung điểm của HH’, ta có IA = IB = IC, IA’ = IB’ = IC’.
Xét tam giác vuông AHI và tam giác vuông A’H’I có: HI = H’I (theo cách dựng), AH = A’H’.
\( \Rightarrow \Delta AHI = \Delta A'H'I\) (2 cạnh góc vuông) \( \Rightarrow IA = IA'\). Do đó A = IB = IC = IA’ = IB’ = IC’ hay I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’.
Ta có AH = AB = 2 (do ABHC là hình thoi) và HH’ = AA’ = 4 nên IH = 2.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông AHI có: \(AI = \sqrt {A{H^2} + H{I^2}} = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 \).
Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là \(R = 2\sqrt 2 \).
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là: \({S_{mc}} = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 32\pi \).
Hướng dẫn giải:
- Gọi M là trung điểm của BC, H là điểm đối xứng với A qua M. Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
- Gọi H’ là hình chiếu của A lên (A’B’C’), gọi I là trung điểm của HH’, chứng minh I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đứng.
- Sử dụng định lí Pytago tính bán kính mặt cầu.
- Sử dụng công thức tính diện tích mặt cầu bán kính R là \({S_{mc}} = 4\pi {R^2}\).
