Ta có

\(\begin{array}{l}CD \bot BC,\,\,AB \bot CD\,\, \Rightarrow CD \bot \left( {ABC} \right)\\AB \bot BC,\,\,AB \bot CD\,\, \Rightarrow AB \bot \left( {CBD} \right)\end{array}\) .

Đáp án A sai vì tam giác ABC không vuông góc tại C nên trung điểm của AB  không cách đều ba điểm A, B, C.

Đáp án B sai do tam giác BCD không vuông góc tại D  nên trung điểm của BC không cách dều ba điểm B, C, D.

Đáp án D sai vì tam giác BCD không vuông góc tại B nên trung điểm của CD không cách đều ba điểm B, C, D.

Đáp án C đúng do tam giác ABD vuông tại B nên M cách đều A, B, D và do tam giác ACD vuông tại C ( do \(CD \bot \left( {ABC} \right)\) ) nên M cách đều A, C, D. Từ đó cách đều bốn điểm A, B, C, D.

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau ⇒ Sai

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AC\\AB \bot AD\end{array} \right.\,\, \to AB \bot \left( {CAD} \right)\,\, \Rightarrow AB \bot CD\) .

Do đó, góc giữa AB và CD là 90⁰.

Ta có (SAB) và (ABC) có AB chung và \(\left\{ \begin{array}{l}SA \subset (SAB)\\SA \bot (ABC)\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,\,\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).

Vậy góc giữa hai mặt phẳng trên là 90⁰

Ta có: 

\(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot BC\). Mà \(\Delta ABC\) đều nên \(AM \bot BC\).

Suy ra \(BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SA\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}CA \bot BD\\SC \bot BD\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,\,BD \bot \left( {SAC} \right)\\BD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow \,\,\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\end{array}\)

Vậy góc giữa hai mặt phẳng trên là 90⁰.

\(\lim \dfrac{{2 - n}}{{\sqrt {n + 1} }} = \lim \dfrac{{\dfrac{2}{n} - 1}}{{\sqrt {\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}} }} = - \infty\)

Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì: \(\lim {q^n} = 0\)

\(\eqalign{ & \lim {{{{(n - 2)}^7}{{(2n + 1)}^3}} \over {{{({n^2} + 2)}^5}}} \cr & = \lim {{{{\left( {1 - {2 \over n}} \right)}^7} \cdot {{\left( {2 + {1 \over n}} \right)}^3}} \over {{{\left( {1 + {2 \over {{n^2}}}} \right)}^5}}} = {{{{1.2}^3}} \over 1} = 8 \cr} \)

\(\eqalign{ & \lim {{{3^n} - {{4.2}^{n - 1}} - 3} \over {{{3.2}^n} + {4^n}}} \cr & = \lim {{{{\left( {{3 \over 4}} \right)}^n} - {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^{n - 1}} - {3 \over {{4^n}}}} \over {3.{{\left( {{1 \over 2}} \right)}^n} + 1}} = {0 \over 1} = 0 \cr}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^2} - x + 7} \right) = {( - 1)^2} - ( - 1) + 7 = 9\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} f(x) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} g\left( x \right) = M\)

\( \Rightarrow \mathop {lim}\limits_{x \to {x_0}} {{f(x)} \over {g(x)}} = {L \over M}\) nếu \(M \ne 0\Rightarrow\) A sai

\(\eqalign{
& \lim (\sqrt {{n^2} + n + 1} - n) \cr
& = \lim {{{n^2} + n + 1 - {n^2}} \over {\sqrt {{n^2} + n + 1} + n}} \cr
& = \lim {{n + 1} \over {\sqrt {{n^2} + n + 1} + n}} \cr
& = \lim {{1 + {1 \over n}} \over {\sqrt {1 + {1 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} + 1}} \cr
& = {1 \over {\sqrt 1 + 1}} = {1 \over 2} \cr} \)

\(\eqalign{
& \lim {u_n} = \lim {{n.\sqrt {1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)} } \over {2{n^2} + 1}} \cr
& = \lim {{n\sqrt {{n \over 2}\left( {1 + 2n - 1} \right)} } \over {2{n^2} + 1}} \cr
& = \lim {{{n^2}} \over {2{n^2} + 1}} = \lim {1 \over {2 + {1 \over {{n^2}}}}} = {1 \over 2} \cr} \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} ({x^3} + 1) = {2^3} + 1 = 9\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} {{{x^2} + 3x + 2} \over {\left| {x + 1} \right|}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} {{{x^2} + 3x + 2} \over { - \left( {x + 1} \right)}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} {{(x + 1)(x + 2)} \over { - \left( {x + 1} \right)}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} \left( { - \left( {x + 2} \right)} \right) = - 1 \cr} \)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {8^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {8^ + }} {{x - 8} \over {\root 3 \of x - 2}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {8^ + }} {{\left( {\root 3 \of x - 2} \right)\left( {\root 3 \of {{x^2}} + 2\root 3 \of x + 4} \right)} \over {\root 3 \of x - 2}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {8^ + }} \left( {\root 3 \of {{x^2}} + 2\root 3 \of x + 4} \right) = 12 \cr} \)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\root 3 \of {2x + 8} - 2} \over {\sqrt {3x + 4} - 2}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\left( {\root 3 \of {2x + 8} - 2} \right)\left( {\root 3 \of {{{(2x + 8)}^2}} + 2\root 3 \of {2x + 8} + 4} \right)\left( {\sqrt {3x + 4} - 2} \right)} \over {\left( {3x + 4 - 4} \right)\left( {\root 3 \of {{{(2x + 8)}^2}} + 2\root 3 \of {2x + 8} + 4} \right)}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{2x\left( {\sqrt {3x + 4} - 2} \right)} \over {3x\left( {\root 3 \of {{{(2x + 8)}^2}} + 2\root 3 \of {2x + 8} + 4} \right)}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{2\left( {\sqrt {3x + 4} - 2} \right)} \over {3\left( {\root 3 \of {{{(2x + 8)}^2}} + 2\root 3 \of {2x + 8} + 4} \right)}} \cr
& = {{2(2 + 2)} \over {3(4 + 4 + 4)}} = {8 \over {36}} = {2 \over 9} \cr} \)

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì \(f(0) = \dfrac{2 }{ 9}\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{\sqrt {3x + 1} - 2} \over {{x^2} - 1}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{3x + 1 - 4} \over {\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {\sqrt {3x + 1} + 2} \right)}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{3x - 3} \over {\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {\sqrt {3x + 1} + 2} \right)}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{3(x - 1)} \over {(x - 1)(x + 1)\left( {\sqrt {3x + 1} + 2} \right)}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {3 \over {\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {3x + 1} + 2} \right)}} = {3 \over {2.4}} = {3 \over 8} \cr} \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }}\dfrac {{a({x^2} - 2)} }{ {x - 3}} =\dfrac {a }{ 2}\)

Để f(x) liên tục tại x=1 thì \(\dfrac{a}{2} = \dfrac{3}{ 8} \Leftrightarrow a = \dfrac{3}{ 4}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty  \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ { - f\left( x \right)} \right] =  - \infty \)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{{x^2} + 6x + 5} \over {{x^3} + 2{x^2} - 1}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 5} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x - 1} \right)}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{x + 5} \over {{x^2} + x - 1}} = {4 \over { - 1}} = - 4 \cr} \)

f(x) có TXĐ: \(R\backslash \left\{ 1 \right\}\) nên f(x) gián đoạn tại x=1

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{\sqrt x  - 1} \over {x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {1 \over {\sqrt x  + 1}} = {1 \over 2}\)

\(\lim {u_n} = \lim {{{n^2} - 3n} \over {1 - 4{n^3}}} = \lim {{{1 \over n} - {3 \over {{n^2}}}} \over {{1 \over {{n^3}}} - 4}} = 0\)

Đáp án A: \(\lim {u_n} = \lim {{{n^2} - 2n} \over {5n + 5{n^2}}} = \lim {{1 - {2 \over n}} \over {{5 \over n} + 5}} = {1 \over 5}\)

Đáp án B: \(\lim {u_n} = \lim {{1 + {n^2}} \over {5n + 5}} = \lim {{{1 \over n} + n} \over {5 + {5 \over n}}} = \lim {n \over 5} =  + \infty \)

Đáp án C: \(\lim {u_n} = \lim {{1 + 2n} \over {5n + 5{n^2}}} = \lim {{{1 \over {{n^2}}} + {2 \over n}} \over {{5 \over n} + 5}} = 0\)

Đáp án D: \(\lim {u_n} = \lim {{1 - {n^2}} \over {5n + 5}} = \lim {{{1 \over n} - n} \over {5 + {5 \over n}}} =  - \infty \)

\(\eqalign{
& \lim {{\sqrt {{n^2} - 3n - 5} - \sqrt {9{n^2} + 3} } \over {2n - 1}} \cr
& = \lim {{\sqrt {1 - {3 \over n} - {5 \over {{n^2}}}} - \sqrt {9 + {3 \over {{n^2}}}} } \over {2 - {1 \over n}}} \cr
& = {{\sqrt 1 - \sqrt 9 } \over 2} = - 1 \cr} \)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^ + }} \left( {2 - a} \right){x^2} = 4 - 2a \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^ + }} {a^2}{x^2} = 2{a^2} \cr} \)

f(x) liên tục trên R

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 2{a^2} = 4 - 2a \cr
& \Leftrightarrow 2{a^2} + 2a - 4 = 0 \cr} \)

\(\Leftrightarrow a = 1\) hoặc \(a =  - 2\)

\(\lim \dfrac{1}{{n + 1}} = \lim \dfrac{{\dfrac{1}{n}}}{{1 + \dfrac{1}{n}}} = \dfrac{0}{1} = 0\)

\(\begin{array}{l}\lim (\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} - n)\\ = \lim \dfrac{{\left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} - n} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + 9{n^2}} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} + {n^2}} \right)}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + 9{n^2}} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} + {n^2}}}\\ = \lim \dfrac{{{n^3} + 9{n^2} - {n^3}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + 9{n^2}} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} + {n^2}}}\\ = \lim \dfrac{{9{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + 9{n^2}} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} + {n^2}}}\\ = \lim \dfrac{9}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 + \dfrac{9}{n}} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + \dfrac{9}{n}}} + 1}} = \dfrac{9}{3} = 3\end{array}\)

Ta có \(1 - \dfrac{1}{{{k^2}}} = \dfrac{{\left( {k - 1} \right)\left( {k + 1} \right)}}{{{k^2}}}\) nên ta suy ra

\(\begin{array}{l}\left[ {\left( {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right]\\ = \dfrac{{1.3}}{{{2^2}}}.\dfrac{{2.4}}{{{3^2}}}...\dfrac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)}}{{{n^2}}} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right)}}{{2n}}\end{array}\)

\(\lim \left[ {\left( {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right] = \lim \dfrac{{n + 1}}{{2n}} = \dfrac{1}{2}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{3x + 2}}{{2x - 1}} = \dfrac{{3 + 2}}{{2.1 - 1}} = 5\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{3 - x}}{{\sqrt {x + 1}  - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{(3 - x)\sqrt {x + 1}  + 2}}{{x - 3}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} ( - \sqrt {x + 1}  + 2) =  - 4\end{array}\)

Để hàm số đã cho liên tục tại x = 3  thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f(3) \Leftrightarrow m =  - 4\)

\(\begin{array}{l}\lim \dfrac{{\sqrt[4]{{3{n^3} + 1}} - n}}{{\sqrt {2{n^4} + 3n + 1}  + n}}\\ = \lim \dfrac{{{n^2}\left( {\sqrt[4]{{\dfrac{3}{{{n^5}}} + \dfrac{1}{{{n^8}}}}} - \dfrac{1}{n}} \right)}}{{{n^2}\left( {\sqrt {2 + \dfrac{3}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}}  + \dfrac{1}{n}} \right)}}\\ = \lim \dfrac{{\left( {\sqrt[4]{{\dfrac{3}{{{n^5}}} + \dfrac{1}{{{n^8}}}}} - \dfrac{1}{n}} \right)}}{{\left( {\sqrt {2 + \dfrac{3}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}}  + \dfrac{1}{n}} \right)}} = \dfrac{0}{{\sqrt 2 }} = 0\end{array}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \dfrac{\pi }{6}} \dfrac{{{{\sin }^2}2x - 3\cos x}}{{\tan x}} = \dfrac{{\dfrac{3}{4} - \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}}}{{\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}}} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{4} - \dfrac{9}{2}\)

\(\lim \dfrac{{n - 2\sqrt n }}{{2n}} = \lim \dfrac{{1 - \dfrac{2}{{\sqrt n }}}}{2} = \dfrac{1}{2}\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {(2x + 1)(3x + 1)(4x + 1)}  - 1}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{(2x + 1)(3x + 1)(4x + 1) - 1}}{{x.(\sqrt {(2x + 1)(3x + 1)(4x + 1)}  + 1)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{24{x^3} + 26{x^2} + 9x}}{{x.(\sqrt {(2x + 1)(3x + 1)(4x + 1)}  + 1)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{24{x^2} + 26x + 9}}{{(\sqrt {(2x + 1)(3x + 1)(4x + 1)}  + 1)}} = \dfrac{9}{2}\end{array}\)

Do I là tâm hình bình hành ABCD nên \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = 2\overrightarrow {SI} \) .

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot BC\,\,(do\,SA \bot (ABCD))\\BA \bot BC\end{array} \right.\,\, \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\,\, \Rightarrow BC \bot SB\) . Do đó tam giác SBC vuông tại B.

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot CD\\AD \bot CD\end{array} \right.\,\, \Rightarrow CD \bot (SAD)\,\, \Rightarrow CD \bot SD\) . Do đó tam giác SDC vuông tại D.

Loại A do tam giác SBC vuông tại B nên trung điểm SB không cách đều ba điểm S, B, C.

Loại C do tam giác SCD vuông tại D nên trung điểm SD không cách đều ba điểm S, C, D.

Đáp án B đúng do tam giác SBC vuông tại B có SC là cạnh huyền nên trung điểm SC cách đều ba điểm S, B, C; do tam giác SCD vuông tại D có SC là cạnh huyền nên trung điểm SC cáchđều ba điểm S, C, D.

Do ABCD.EFGH là hình lập phương nên AB // GH.

Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AA' \bot AD\\AA' \bot AB\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,AA' \bot (ABCD)\\AA' \subset (ACC'A') \Rightarrow \,\,(ABCD) \bot (ACC'A')\end{array}\)

Vậy góc giữa (ABCD) vuông góc với (ACC’A’).

ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên các mặt đều là hình bình hành, do đó chưa đủ giả thiết để chứng minh được \(AC \bot B'D'\).

Các cạnh của hình hộp đều bằng a, tứ giác ABCD là hinh bình hành cạnh a, đường chéo có thể bằng a hoặc không bằng a nên ACC’A’ là hình bình hành , chưa chắc là hình thoi.

Vậy đáp án A và B đều là đáp án đúng.