Tìm $m$ để $({C_m})$ : $y = {x^4} - 2m{x^2} + 2$ có $3$ điểm cực trị là $3$ đỉnh của một tam giác vuông cân.

Đáp án đúng: c

Ta có: $y' = 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  x = 0 \hfill \\ {x^2} = m \hfill \\ \end{gathered}  \right.$

Đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị $ \Leftrightarrow $ pt $y' = 0$ có $3$ nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow $$m > 0$$ \Rightarrow \left[ \begin{gathered}x = 0 \hfill \\x = \sqrt m  \hfill \\ x =  - \sqrt m  \hfill \\ \end{gathered}  \right.$

$ \Rightarrow $ Đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị là: $A(0;2);\,\,\,B( - \sqrt m ;2 - {m^2});\,\,C(\sqrt m ;2 - {m^2})$

\(\overrightarrow {AB}  = \left( { - \sqrt m ; - {m^2}} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {\sqrt m ; - {m^2}} \right)\)

Dễ thấy $∆ ABC$ cân tại $A,$ để $∆ ABC$ vuông cân thì nó phải vuông tại $A$ 

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0 \Leftrightarrow  - m + {m^4} = 0\) \( \Leftrightarrow m\left( {{m^3} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\{m^3} - 1 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\end{array} \right.\) 

Kết hợp điều kiện $m > 0$ ta có $m = 1$

Hướng dẫn giải:

- Bước 1: Tính $y'$.

- Bước 2: Ba điểm cực trị $A,B,C$ trong đó $A\left( {0;c} \right)$ lập thành một tam giác vuông (vuông cân)

$ \Leftrightarrow \Delta ABC$ vuông tại $A \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0$

- Bước 3: Kết luận.

Giải thích thêm:

+) Hàm $y = a{x^4} + b{x^2} + c(a \ne 0)$  luôn tạo thành tam giác cân tại điểm $\left( {0;c} \right)$

+) Có thể dùng công thức giải nhanh. Đồ thị hàm số $y = a{x^4} + b{x^2} + c(a \ne 0)$ có $3$ điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân nếu $\left\{ \begin{gathered}ab < 0 \hfill \\  {b^3} =  - 8a \hfill \\ \end{gathered}  \right.$