Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(a\). Biết tam giác \(SBA\) vuông tại \(B\), tam giác \(SCA\) vuông tại \(C\) và khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(SB\) bằng \(\dfrac{{3a}}{{\sqrt {13} }}\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
A.
\(\dfrac{{{a^3}}}{4}\).
B.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).
C.
\({a^3}\)
D.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
Lời giải của giáo viên
Đáp án đúng: b
Gọi O là trung điểm của BC.
Ta gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Trong đó:
\(A\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};0;0} \right),\,B\left( {0;\dfrac{a}{2};0} \right),\,C\left( {0; - \dfrac{a}{2};0} \right)\)
Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng vuông góc với AB tại B, \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng vuông góc với AC tại C. Gọi giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) là đường thẳng \(d\).
Do \(SB \bot AB,\,\,SC \bot AC\) nên \(S \in d\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( { - \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};\dfrac{a}{2};0} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( { - \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}; - \dfrac{a}{2};0} \right)\)
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(B\left( {0;\dfrac{a}{2};0} \right)\), nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {\sqrt 3 ; - 1;0} \right)\) là 1 VTPT, có phương trình là: \(\sqrt 3 x - y + \dfrac{a}{2} = 0\).
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(C\left( {0; - \dfrac{a}{2};0} \right)\), nhận \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {\sqrt 3 ;1;0} \right)\) là 1 VTPT, có phương trình là: \(\sqrt 3 x + y + \dfrac{a}{2} = 0\).
\(d\) là giao của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right) \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 3 x - y + \dfrac{a}{2} = 0\\\sqrt 3 x + y + \dfrac{a}{2} = 0\end{array} \right.\), \(\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {0;0;2\sqrt 3 } \right)\)
\( \Rightarrow d\) đi qua \(I\left( { - \dfrac{a}{{2\sqrt 3 }};0;0} \right)\)có 1 VTCP \(\overrightarrow u = \left( {0;0;1} \right)\), có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{a}{{2\sqrt 3 }}\\y = 0\\z = t\end{array} \right.\)
Giả sử \(S\left( { - \dfrac{a}{{2\sqrt 3 }};0;t} \right)\). Ta có: \(\begin{array}{l}\overrightarrow {SB} = \left( {\dfrac{a}{{2\sqrt 3 }};\dfrac{a}{2}; - t} \right);\,\,\\\overrightarrow {CA} = \left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};\dfrac{a}{2};0} \right)\end{array}\)\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {CA} } \right] = \left( {\dfrac{{at}}{2};\dfrac{{a\sqrt 3 t}}{2}; - \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{6}} \right)\)\( \Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {CA} } \right]} \right| = \sqrt {\dfrac{{{a^2}{t^2}}}{4} + \dfrac{{3{a^2}{t^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{{12}}} = \sqrt {{a^2}{t^2} + \dfrac{{{a^2}}}{{12}}} \)
Ta có: \(\overrightarrow {CB} = \left( {0;a;0} \right)\)\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {CA} } \right].\overrightarrow {CB} = 0 + \dfrac{{a\sqrt 3 t}}{2}.a + 0 = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 t}}{2}\)
\(d(SB;AC) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {CA} } \right].\overrightarrow {CB} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {CA} } \right]} \right|}} = \dfrac{{\left| {\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 t}}{2}} \right|}}{{\sqrt {{a^2}{t^2} + \dfrac{{{a^2}}}{{12}}} }}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{\left| {\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 t}}{2}} \right|}}{{\sqrt {{a^2}{t^2} + \dfrac{{{a^2}}}{{12}}} }} = \dfrac{{3a}}{{\sqrt {13} }} \Leftrightarrow \dfrac{{3{a^4}{t^2}}}{{4{a^2}{t^2} + \dfrac{1}{3}{a^2}}} = \dfrac{{9{a^2}}}{{13}}\\ \Leftrightarrow 39{a^2}{t^2} = 36{a^2}{t^2} + 3{a^2} \Leftrightarrow {t^2} = {a^2} \Leftrightarrow t = a\end{array}\)
\( \Rightarrow S\left( { - \dfrac{a}{{2\sqrt 3 }};0;a} \right)\)\( \Rightarrow h = d\left( {S;\left( {Oxy} \right)} \right) = a\)
Diện tích tam giác đều ABC là: \(S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.h.S = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).
Hướng dẫn giải:
Gắn hệ trục tọa độ.
Đường thẳng \({d_1}\) có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} \), đi qua điểm \({M_1}\).
Đường thẳng \({d_2}\) có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} \), đi qua điểm \({M_2}\).
Khoảng cách giữa \({d_1}\) và \({d_2}\) được tính theo công thức:
\(d({d_1};{d_2}) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}\)
Gọi O là trung điểm của BC.
Ta gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Trong đó:
\(A\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};0;0} \right),\,B\left( {0;\dfrac{a}{2};0} \right),\,C\left( {0; - \dfrac{a}{2};0} \right)\)
Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng vuông góc với AB tại B, \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng vuông góc với AC tại C. Gọi giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) là đường thẳng \(d\).
Do \(SB \bot AB,\,\,SC \bot AC\) nên \(S \in d\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( { - \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};\dfrac{a}{2};0} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( { - \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}; - \dfrac{a}{2};0} \right)\)
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(B\left( {0;\dfrac{a}{2};0} \right)\), nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {\sqrt 3 ; - 1;0} \right)\) là 1 VTPT, có phương trình là: \(\sqrt 3 x - y + \dfrac{a}{2} = 0\).
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(C\left( {0; - \dfrac{a}{2};0} \right)\), nhận \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {\sqrt 3 ;1;0} \right)\) là 1 VTPT, có phương trình là: \(\sqrt 3 x + y + \dfrac{a}{2} = 0\).
\(d\) là giao của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right) \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 3 x - y + \dfrac{a}{2} = 0\\\sqrt 3 x + y + \dfrac{a}{2} = 0\end{array} \right.\), \(\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {0;0;2\sqrt 3 } \right)\)
\( \Rightarrow d\) đi qua \(I\left( { - \dfrac{a}{{2\sqrt 3 }};0;0} \right)\)có 1 VTCP \(\overrightarrow u = \left( {0;0;1} \right)\), có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{a}{{2\sqrt 3 }}\\y = 0\\z = t\end{array} \right.\)
Giả sử \(S\left( { - \dfrac{a}{{2\sqrt 3 }};0;t} \right)\). Ta có: \(\begin{array}{l}\overrightarrow {SB} = \left( {\dfrac{a}{{2\sqrt 3 }};\dfrac{a}{2}; - t} \right);\,\,\\\overrightarrow {CA} = \left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};\dfrac{a}{2};0} \right)\end{array}\)\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {CA} } \right] = \left( {\dfrac{{at}}{2};\dfrac{{a\sqrt 3 t}}{2}; - \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{6}} \right)\)\( \Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {CA} } \right]} \right| = \sqrt {\dfrac{{{a^2}{t^2}}}{4} + \dfrac{{3{a^2}{t^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{{12}}} = \sqrt {{a^2}{t^2} + \dfrac{{{a^2}}}{{12}}} \)
Ta có: \(\overrightarrow {CB} = \left( {0;a;0} \right)\)\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {CA} } \right].\overrightarrow {CB} = 0 + \dfrac{{a\sqrt 3 t}}{2}.a + 0 = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 t}}{2}\)
\(d(SB;AC) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {CA} } \right].\overrightarrow {CB} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {CA} } \right]} \right|}} = \dfrac{{\left| {\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 t}}{2}} \right|}}{{\sqrt {{a^2}{t^2} + \dfrac{{{a^2}}}{{12}}} }}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{\left| {\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 t}}{2}} \right|}}{{\sqrt {{a^2}{t^2} + \dfrac{{{a^2}}}{{12}}} }} = \dfrac{{3a}}{{\sqrt {13} }} \Leftrightarrow \dfrac{{3{a^4}{t^2}}}{{4{a^2}{t^2} + \dfrac{1}{3}{a^2}}} = \dfrac{{9{a^2}}}{{13}}\\ \Leftrightarrow 39{a^2}{t^2} = 36{a^2}{t^2} + 3{a^2} \Leftrightarrow {t^2} = {a^2} \Leftrightarrow t = a\end{array}\)
\( \Rightarrow S\left( { - \dfrac{a}{{2\sqrt 3 }};0;a} \right)\)\( \Rightarrow h = d\left( {S;\left( {Oxy} \right)} \right) = a\)
Diện tích tam giác đều ABC là: \(S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.h.S = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).
Hướng dẫn giải:
Gắn hệ trục tọa độ.
Đường thẳng \({d_1}\) có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} \), đi qua điểm \({M_1}\).
Đường thẳng \({d_2}\) có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} \), đi qua điểm \({M_2}\).
Khoảng cách giữa \({d_1}\) và \({d_2}\) được tính theo công thức:
\(d({d_1};{d_2}) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}\)
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số $y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x - 2$ luôn tăng trên $R$
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\) thỏa mãn \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(AB = 2AD = 2CD = 2a = \sqrt 2 SA\). Thể tích khối chóp \(S.BCD\) là:
Anh A mua nhà trị giá ba trăm triệu đồng theo phương thức trả góp. Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất anh A trả 5.500.000đ và chịu lãi suất tiền chưa trả là 0,5%/tháng thì sau bao nhiêu tháng anh A trả hết số tiền trên.
Điều kiện để hàm số bậc ba không có cực trị là phương trình $y' = 0$ có:
Công thức nào sau đây không đúng khi tính diện tích toàn phần hình trụ?
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) tâm \(O\). Phép dời hình nào không biến hình vuông \(ABCD\) thành hình vuông \(A'B'C'D'\)?
Hàm số $y = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a \ne 0} \right)$ có $1$ cực trị nếu và chỉ nếu:
Công thức tính thể tích khối nón biết diện tích đáy \({S_d}\) và đường sinh \(l\) là:
Số điểm cực trị của hàm số $y = {(x - 1)^{2017}}$ là
Phép đối xứng qua mặt phẳng \(\left( P \right)\) biến điểm \(M,N\) thành \(M',N'\) thì:
Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình \({\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{\sqrt {{x^2} - 3x - 10} }} > {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{x - 2}}\)
Phép vị tự tỉ số \(k > 0\) biến khối chóp có thể tích \(V\) thành khối chóp có thể tích \(V'\). Khi đó:
Tính thể tích \(V\) của khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng $a$.