Cho hàm số $y = {x^3} - 3m{x^2} + 6$, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $\left[ {0;3} \right]$ bằng $2$ khi:

Đáp án đúng: d

TXĐ: $D = \mathbb{R}$

$y' = 3{x^2} - 6mx.$

Ta có: $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x = 0 \Rightarrow y = 6 \hfill \\x = 2m \Rightarrow y =  -  4{m^3} + 6 \hfill \\ \end{gathered}  \right.$

 

$y^{\prime}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}x=0 \Rightarrow y=6 \\ x=2 m \Rightarrow y=-4 m^{3}+6\end{array}\right.$

Xét TH1: $m = 0$. Hàm số đồng biến trên $\left[ {0;3} \right]$ $\Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 0 \right) = 6 \Rightarrow$ loại.

Xét TH2: $m \geqslant \dfrac{3}{2} \Rightarrow 2m \ge 3 > 0$. Khi đó, hàm số nghịch biến trên $\left[ {0;3} \right] \subset \left[ {0;2m} \right]$

$\Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = 33 - 27m = 2 \Rightarrow m = \dfrac{{31}}{{27}} < \dfrac{3}{2}$(loại)

Xét TH3: $\dfrac{3}{2} > m > 0 \Rightarrow 3 > 2m > 0$ thì đồ thị hàm số có điểm cực đại là $\left( {0;6} \right)$ và điểm cực tiểu là $\left( {2m, -  4{m^3} + 6} \right).$

Khi đó , GTNN trên $\left[ {0;3} \right]$ là $y\left( {2m} \right) =  - 4{m^3} + 6$ $\Rightarrow  - 4{m^3} + 6 = 2 \Leftrightarrow {m^3} = 1 \Leftrightarrow m = 1$ (thỏa mãn)

Xét TH4: $m < 0 \Rightarrow \left( {0;6} \right)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số và trên $\left[ {0;3} \right]$ hàm số đồng biến.

$\Rightarrow {y_{min}} = 6 \Rightarrow$ loại.

Vậy $m = 1$ là giá trị cần tìm.

Hướng dẫn giải:

- Tính $y'$ và tìm nghiệm của $y' = 0$.

- Biện luận các trường hợp điểm $x = 3$ nằm trong, nằm ngoài khoảng 2 nghiệm để suy ra kết luận.

Các TH cần xét:

1) $m=0$

2) $m>0$ ta có $0<2m$ nên chia thành 2 TH nhỏ: $0<2m<3$ và $0<3 \le 2m$

3) $m<0$ ta có $2m<0$ nên ta có luôn $2m<0<3$

Giải thích thêm:

HS cần phải xét tất cả các trường hợp và chú ý loại nghiệm. nhiều em sai lầm kết luận $m = \dfrac{{31}}{{27}}$ mà không chú ý điều kiện của trường hợp đó là $m \geqslant \dfrac{3}{2}$.