Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$  song song với mặt phẳng $\left( Q \right):x + y - z - 2 = 0$  và cách $\left( Q \right)$  một khoảng là \(2\sqrt 3 \) .

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t{\rm{      }}}\\{y = 8 + 4t}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right.\) và mặt phẳng $\left( P \right):x + y + z - 7 = 0.$ Phương trình đường thẳng \(\Delta '\) là hình chiếu vuông góc của \(\Delta \) trên \(\left( P \right)\) là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình của mặt cầu?

Kí hiệu \(a,b\) lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức \(3 - 2\sqrt 2 i\). Tìm \(a,b.\)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 điểm \(A(2;1;0),\,\,B(1;-1;3)\). Mặt phẳng qua AB và vuông góc với mặt phẳng (P): \(x+3y-2z-1=0\) có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1,2, - 3} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1,0,4} \right)$ có phương trình là

Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z - 2} \right| = 2$. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $w = \left( {1 - i} \right)z + i$ là một đường tròn. Tính bán kính $r$ của đường tròn đó

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng

\({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  - 1 - 4t\\z = 6 + 6t\end{array} \right.\) và \(\,{d_2}:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 5}}\).

Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình của đường thẳng \({d_3}\) qua \(M\left( {1; - 1;2} \right)\) và vuông góc với cả \({d_1},\,\,{d_2}.\)

Cho hai điểm \(A\left( {1; - 2;0} \right),B\left( {0;1;1} \right)\), độ dài đường cao \(OH\) của tam giác \(OAB\) là:

Gọi \({z_1};{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 5 = 0\). Tính \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm $M\left( {2;3;3} \right),{\rm{ }}N\left( {2; - 1; - 1} \right),{\rm{ }}P\left( { - 2; - 1;3} \right)$ và có tâm thuộc mặt phẳng \((\alpha ):2x + 3y - z + 2 = 0\).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( -1;2;-4 \right)\) và \(B\left( 1;0;2 \right)\). Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{3} = \dfrac{z}{2}\), mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + y - z + 3 = 0\) và điểm \(A\left( {1;2 - 1} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) cắt \(d\) và song song với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có phương trình là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { - 2; - 1;3} \right)\) và \(B(0;3;1)\). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là

Biết số phức $z = x + yi{\rm{ }}\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $\left| {z - \left( {3 + 4i} \right)} \right| = \sqrt 5 $ và biểu thức $P = {\left| {z + 2} \right|^2} - {\left| {z - i} \right|^2}$ đạt giá trị lớn nhất. Tính $\left| z \right|$.

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=3\cos x+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\) trên \(\left( 0;\,+\infty \right)\).