Trong số các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 4 + 3i} \right| = 3\), gọi ${z_0}$ là số phức có mô đun lớn nhất. Khi đó \(\left| {{z_0}} \right|\) là

Đáp án đúng: d

Gọi $z = x + yi$;

Khi đó $z - 4 + 3i = \left( {x - 4} \right) + \left( {y + 3} \right)i$

$ \Rightarrow \left| {z - 4 + 3i} \right| = \left| {\left( {x - 4} \right) + \left( {y + 3} \right)i} \right| = 3 \Rightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9$

Vậy quỹ tích các điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z\) thuộc đường tròn tâm $I\left( {4; - 3} \right);R = 3$.

Đặt  $\left\{ \begin{array}{l}x = 3\sin t + 4\\y = 3\cos t - 3\end{array} \right.$

$ \Rightarrow {x^2} + {y^2} = {\left( {3\sin t + 4} \right)^2} + {\left( {3\cos t - 3} \right)^2} $

$= 9{\sin ^2}t + 9{\cos ^2}t + 24\sin t - 18\cos t + 25 = 24\sin t - 18\cos t + 34$

Mà $24\sin t - 18\cos t \le \sqrt {\left( {{{24}^2} + {{18}^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}t + {{\cos }^2}t} \right)}  = 30$ (theo bunhiacopxki)

$ \Rightarrow {x^2} + {y^2} \le 30 + 34 = 64 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}}  \le 8 \Rightarrow \left| z \right| \le 8$

Hướng dẫn giải:

- Bước 1: Gọi số phức \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\)

- Bước 2: Thay \(z\) vào biểu thức đã cho tìm mối quan hệ của \(x,y\) suy ra tập hợp biểu diễn của số phức \(z\).

- Bước 3: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để đánh giá biểu thức của \(x,y\).

Giải thích thêm:

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
\left| {z - 4 + 3i} \right| = \left| {z - \left( {4 - 3i} \right)} \right|\\
\ge \left| z \right| - \left| {4 - 3i} \right| = \left| z \right| - 5\\
\Rightarrow 3 \ge \left| z \right| - 5 \Leftrightarrow \left| z \right| \le 8\\
\Rightarrow \max \left| z \right| = 8
\end{array}\)