Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm $M\left( {2;3;3} \right),{\rm{ }}N\left( {2; - 1; - 1} \right),{\rm{ }}P\left( { - 2; - 1;3} \right)$ và có tâm thuộc mặt phẳng \((\alpha ):2x + 3y - z + 2 = 0\).

Đáp án đúng: b

- Liệt kê các phương trình mặt cầu cho trong 4 đáp án

+ A cho mặt cầu tâm \({I_A}(1, - 1,1)\)  và \({R_A} = \sqrt {13} \)

+ B cho mặt cầu tâm \({I_B}(2, - 1,3)\)  và \({R_B} = 4\)

+ C cho mặt cầu tâm \({I_C}( - 2,1, - 3)\)  và \({R_C} = 2\sqrt 3 \)

+ D cho mặt cầu tâm \({I_D}(1, - 1,1)\)  và \({R_D} = \sqrt 5 \)

- Kiểm tra các tâm có thuộc mặt phẳng \((\alpha )\)  hay không. Loại được đáp án C.

- Ta thấy\({I_A} \equiv {I_D} = I(1, - 1,1)\), nên ta tính bán kính $R = IM$ rồi so sánh với \({R_A},{R_D}\) .

Có \(IM = \sqrt {{1^2} + {4^2} + {2^2}}  = \sqrt {21} \) . Ta thấy \(IM \ne {R_A} \ne {R_D}\). Loại A và D

Hướng dẫn giải:

Xét từng đáp án:

- Xác định tâm mặt cầu và thay vào mặt phẳng.

- Tính bán kính mặt cầu và kiểm tra khoảng cách từ tâm đến các điểm \(A,B,C\) bằng bán kính.

Giải thích thêm:

Tự luận:

\(\overrightarrow {MN}  = \left( {0; - 4; - 4} \right)\), \(\overrightarrow {NP}  = \left( { - 4;0;4} \right)\)

Gọi (P) và (Q) lần lượt là mặt phẳng trung trực của MN và NP.

Khi đó tâm I của mặt cầu thuộc (P) và (Q)

Ta có:

(P) qua trung điểm A(2;1;1) của MN và nhận vecto \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {0;1;1} \right)\) làm vecto pháp tuyến nên có phương trình:

\(y - 1 + z - 1 = 0 \Leftrightarrow y + z - 2 = 0\)

(Q) qua trung điểm B(0;-1;1) của NP và nhận vecto \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;0; - 1} \right)\) làm vecto pháp tuyến nên có phương trình:

\(x - 0 - \left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - z + 1 = 0\)

Do I là tâm mặt cầu đi qua 3 điểm M,N,P nên I phải thuộc mặt phẳng trung trực của MN và NP.

Khi đó tọa độ của I là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - z + 2 = 0\\y + z - 2 = 0\\x - z + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 1\\z = 3\end{array} \right.\)

=> I(2;-1;3)

=> R=4

Mặt cầu cần tìm là:

\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 6z - 2 = 0\)