Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $f'\left( x \right){\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2018}} = x.{e^x}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R$ và $f\left( 1 \right) = 1$. Hỏi phương trình $f\left( x \right) =  - \dfrac{1}{e}$ có bao nhiêu nghiệm?

Đáp án đúng: d

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right){\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2018}} = x.{e^x}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R\\ \Rightarrow \int\limits_{}^{} {f'\left( x \right){{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^{2018}}dx}  = \int\limits_{}^{} {x{e^x}dx} \\ \Leftrightarrow \int\limits_{}^{} {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^{2018}}d\left( {f\left( x \right)} \right)}  = \int\limits_{}^{} {xd\left( {{e^x}} \right)} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^{2019}}}}{{2019}} = x{e^x} - \int\limits_{}^{} {{e^x}dx}  + C\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^{2019}}}}{{2019}} = x{e^x} - {e^x} + C\\ \Leftrightarrow {\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2019}} = 2019\left( {x{e^x} - {e^x} + C} \right)\\f\left( 1 \right) = 1 \Leftrightarrow {1^{2019}} = 2019C \Leftrightarrow C = \dfrac{1}{{2019}}\\ \Rightarrow {\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2019}} = 2019\left( {x{e^x} - {e^x} + \dfrac{1}{{2019}}} \right)\\ \Rightarrow f\left( x \right) =  - \dfrac{1}{e} \Rightarrow {\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2019}} = \dfrac{{ - 1}}{{{e^{2019}}}}\\ \Leftrightarrow 2019\left( {x{e^x} - {e^x} + \dfrac{1}{{2019}}} \right) = \dfrac{{ - 1}}{{{e^{2019}}}}\\ \Leftrightarrow 2019\left( {x{e^x} - {e^x}} \right) + 1 + \dfrac{1}{{{e^{2019}}}} = 0\end{array}\)

Xét hàm số $f\left( x \right) = 2019\left( {x{e^x} - {e^x}} \right) + 1 + \dfrac{1}{{{e^{2019}}}}$ ta có

$f'\left( x \right) = 2019\left( {{e^x} + x{e^x} - {e^x}} \right) = 2019x{e^x} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

$f\left( 0 \right) =  - 2018 + \dfrac{1}{{{e^{2019}}}} < 0$

Lập BBT ta thấy đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt $ \Rightarrow $ phương trình $f\left( x \right) =  - \dfrac{1}{e}$ có 2 nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải:

+) Nguyên hàm hai vế tìm f(x).

+) Sử dụng phương pháp hàm số giải phương trình $f\left( x \right) =  - \dfrac{1}{e}$.