Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Thi vào lớp 10
Đại học
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiTìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = {\tan ^5}x$.
A.
$\int {f(x)dx = \dfrac{1}{4}{{\tan }^4}x} - \dfrac{1}{2}{\tan ^2}x + \ln \left| {\cos x} \right| + C.$
B.
$\int {f(x)dx = \dfrac{1}{4}{{\tan }^4}x} - \dfrac{1}{2}{\tan ^2}x - \ln \left| {\cos x} \right| + C.$
C.
$\int {f(x)dx = \dfrac{1}{4}{{\tan }^4}x} + \dfrac{1}{2}{\tan ^2}x - \ln \left| {\cos x} \right| + C.$
D.
$\int {f(x)dx = \dfrac{1}{4}{{\tan }^4}x} + \dfrac{1}{2}{\tan ^2}x + \ln \left| {\cos x} \right| + C.$
Lời giải của giáo viên
ToanVN.com
Đáp án đúng: b
$I = \int {f(x)dx} = \int {{{\tan }^5}xdx} $.
Đặt $\tan {\mkern 1mu} x = t \Rightarrow \dfrac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = dt \Rightarrow ({\tan ^2}x + 1)dx = dt \Rightarrow dx = \dfrac{{dt}}{{{t^2} + 1}}$
Khi đó:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{I = \int {{t^5}.\dfrac{{dt}}{{{t^2} + 1}}} = \int {({t^3} - t + \dfrac{t}{{{t^2} + 1}})dt} = \int {{t^3}dt} - \int {tdt} + \int {\dfrac{t}{{{t^2} + 1}}dt} }\\{ = \dfrac{1}{4}{t^4} - \dfrac{1}{2}{t^2} + \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{d({t^2} + 1)}}{{{t^2} + 1}}} = \dfrac{1}{4}{t^4} - \dfrac{1}{2}{t^2} + \dfrac{1}{2}\ln \left| {{t^2} + 1} \right| + C}\\{ = \dfrac{1}{4}{{\tan }^4}x - \dfrac{1}{2}{{\tan }^2}x + \dfrac{1}{2}\ln \left( {{{\tan }^2}x + 1} \right) + C}\\{ = \dfrac{1}{4}{{\tan }^4}x - \dfrac{1}{2}{{\tan }^2}x + \dfrac{1}{2}\ln \left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right) + C}\\{ = \dfrac{1}{4}{{\tan }^4}x - \dfrac{1}{2}{{\tan }^2}x - \ln \left| {\cos x} \right| + C}\end{array}\)
Hướng dẫn giải:
Đặt \(t = \tan x\) rồi tính \(dx\) theo \(dt\) và thay vào tìm nguyên hàm.
$I = \int {f(x)dx} = \int {{{\tan }^5}xdx} $.
Đặt $\tan {\mkern 1mu} x = t \Rightarrow \dfrac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = dt \Rightarrow ({\tan ^2}x + 1)dx = dt \Rightarrow dx = \dfrac{{dt}}{{{t^2} + 1}}$
Khi đó:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{I = \int {{t^5}.\dfrac{{dt}}{{{t^2} + 1}}} = \int {({t^3} - t + \dfrac{t}{{{t^2} + 1}})dt} = \int {{t^3}dt} - \int {tdt} + \int {\dfrac{t}{{{t^2} + 1}}dt} }\\{ = \dfrac{1}{4}{t^4} - \dfrac{1}{2}{t^2} + \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{d({t^2} + 1)}}{{{t^2} + 1}}} = \dfrac{1}{4}{t^4} - \dfrac{1}{2}{t^2} + \dfrac{1}{2}\ln \left| {{t^2} + 1} \right| + C}\\{ = \dfrac{1}{4}{{\tan }^4}x - \dfrac{1}{2}{{\tan }^2}x + \dfrac{1}{2}\ln \left( {{{\tan }^2}x + 1} \right) + C}\\{ = \dfrac{1}{4}{{\tan }^4}x - \dfrac{1}{2}{{\tan }^2}x + \dfrac{1}{2}\ln \left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right) + C}\\{ = \dfrac{1}{4}{{\tan }^4}x - \dfrac{1}{2}{{\tan }^2}x - \ln \left| {\cos x} \right| + C}\end{array}\)
Hướng dẫn giải:
Đặt \(t = \tan x\) rồi tính \(dx\) theo \(dt\) và thay vào tìm nguyên hàm.
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Hàm số \(F\left( x \right)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nếu:
Biết rằng \(\int\limits_0^1 {x\cos 2xdx} = \dfrac{1}{4}\left( {a\sin 2 + b\cos 2 + c} \right)\) với \(a,b,c \in Z\). Mệnh đề nào sau đây là đúng
Cho hàm số \(y = \frac{{x - {m^2}}}{{x + 1}}\) (với m là tham số khác 0) có đồ thị là \(\left( C \right)\). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) và hai trục tọa độ. Có bao nhiêu giá trị thực của m thỏa mãn \(S = 1\)?
Cho parabol \(\left( P \right)\) có đồ thị như hình vẽ:
Tính diện tích giới hạn bởi \(\left( P \right)\) và trục hoành.
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x + \cos x\) là :
Tính nguyên hàm $I = \int {\dfrac{{\ln \left( {lnx} \right)}}{x}{\rm{d}}x} $ được kết quả nào sau đây?
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin x\sqrt {8 + \cos x} dx} \). Đặt \(u = 8 + \cos x\) thì kết quả nào sau đây là đúng?
Đổi biến $u = \ln x$ thì tích phân \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}dx} \) thành:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Chọn mệnh đề sai?
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{x}{{\sqrt {3{x^2} + 2} }}\).
Cho hình \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 1\). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục \(Ox\) được tính bởi:
Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{{\ln }^2}x + 1} .\dfrac{{\ln x}}{x}\) thoả mãn \(F\left( 1 \right) = \dfrac{1}{3}\). Giá trị của \({F^2}\left( e \right)\) là
Cho hai hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) với \(a < b\). Kí hiệu \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 3f(x)\), \(y = 3g(x),\,\,x = a,\,\,x = b,\,\,{S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f(x) - 2,\,\,y = g(x) - 2,\,\,x = a,\,\,x = b\). Khẳng định nào sau đây đúng?
